中考常考知识点归纳：勾股定理

中考常考知识点归纳：勾股定理

　　导语：中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。下面是小编为大家整理的，数学知识，更多相关信息请关CNFLA学习网!

　　一.知识归纳

　　1.勾股定理

　　勾股定理=商高定理=毕达哥拉斯定理

　　勾三，股四，弦五

　　直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

　　表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2

　　2.勾股定理的证明

　　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

　　用拼图的方法验证勾股定理的思路是

　　①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

　　②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

　　3.勾股定理的适用范围

　　应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

　　4.勾股定理的应用

　　①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

　　在ABC中，C90

　　，则c

　　，b

　　，a

　　②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

　　③可运用勾股定理解决一些实际问题

　　5.勾股定理的逆定理

　　如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边

　　①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形;若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形;若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形;

　　②定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边

　　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

　　6.勾股数

　　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

　　②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等

　　③用含字母的代数式表示n组勾股数：

　　n21,2n,n21(n2,n为正整数);

　　2n1,2n22n,2n22n1(n为正整数)

　　m2n2,2mn,m2n2(mn,m，n为正整数)

　　7.勾股定理的应用

　　1)直角三角形中的边长的计算

　　2)直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.

　　8.勾股定理逆定理的应用

　　勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.

　　9.勾股定理及其逆定理的应用

　　勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决. 常见图形：