余弦定理优秀教学设计

余弦定理优秀教学设计

　　作为一名为他人授业解惑的教育工作者，编写教学设计是必不可少的，教学设计是教育技术的组成部分，它的功能在于运用系统方法设计教学过程，使之成为一种具有操作性的程序。那么应当如何写教学设计呢？下面是小编为大家整理的余弦定理优秀教学设计，欢迎阅读与收藏。

　　余弦定理优秀教学设计1

　　一、教学设计

　　1、教学背景

　　在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难;学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少;许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题，这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在2009级进行了“创设数学情境与提出数学问题”的以学生为主的“生本课堂”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想法，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。

　　2、教材分析

　　“余弦定理”是高中数学的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

　　3、设计思路

　　建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。

　　为此我们根据“情境—问题”教学模式，沿着“设置情境—提出问题—解决问题—反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境—问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：

　　①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景;

　　②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。

　　③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：一是证明的起点 ;二是如何将向量关系转化成数量关系。

　　④由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。

　　二、教学反思

　　本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。

　　例如，新课的引入，我引导学生从向量的模下手思考：

　　生：利用向量的模并借助向量的数量积。

　　教师：正确!由于向量 的模长，夹角已知，只需将向量 用向量 来表示即可。易知 ，接下来只要把这个向量等式数量化即可。如何实现呢

　　学生8：通过向量数量积的运算。

　　通过教师的引导，学生不难发现 还可以写成 ， 不共线，这是平面向量基本定理的一个运用。因此在一些解三角形问题中，我们还可以利用平面向量基本定理寻找向量等式，再把向量等式化成数量等式，从而解决问题。

　　(从学生的“最近发展区”出发，证明方法层层递进，激发学生探求新知的欲望，从而感受成功的喜悦。)

　　创设数学情境是“情境·问题·反思·应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。

　　从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材解三角形应用举例的例1实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。

　　“情境·问题·反思·应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境(不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性)，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程;关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度;关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程。把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

　　余弦定理优秀教学设计2

　　一. 教学目标：

　　1.知识与技能：认识正弦、余弦定理，了解三角形中的边与角的关系。

　　2.过程与方法：通过具体的探究活动，了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用。

　　3.情感态度与价值观：通过对实例的探究，体会到三角形的和谐美，学会稳定性的重要。

　　二. 教学重、难点：

　　重点：

　　正弦、余弦定理应用以及公式的变形

　　难点：

　　运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。

　　知识梳理

　　1．正弦定理和余弦定理

　　在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则

　　(1)S＝2ah(h表示边a上的高)

　　(2)S＝2bcsin A＝2sin C＝2acsin B

　　(3)S＝2r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)

　　问题1：在△ABC中，a＝3，b2，A＝60°求c及B C 问题2在△ABC中,c=6 A=30° B=120°求a b及C

　　问题3在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝16，则b＝

　　通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用; 正弦定理可以解决

　　(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；

　　(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

　　余弦定理可以解决

　　(1)已知三边，求三个角；

　　(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角

　　我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三” 知三中必须要有一边

　　应用举例

　　【例1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B3b，则角A等于 ( )

　　A.3 B.4 C.6

　　(2)(20xx·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝2，B＝45°，则sin C＝______.

　　解析 (1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B， ∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0. 3

　　∴sin A＝2又∵△ABC为锐角三角形，

　　∴A∈02，∴A＝3

　　(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×2＝25，即b＝5. c·sin B

　　所以sin Cb4

　　答案 (1)A (2)5

　　【训练1】 (1)在△ABC中，a＝3，c＝2，A＝60°，则C＝

　　A．30° B．45° C．45°或135° D．60°

　　(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝3sin B，则A＝

　　A．30° B．60° C．120° D．150°

　　解析 (1)由正弦定理，得sin 60°sin C，解得：sin C＝2，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°

　　(2)∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b， b2＋c2－a2－3bc＋c2－3bc＋3bc3∴cos A＝2bc＝＝2bc2bc2， 又A为三角形的内角，∴A＝30°.

　　答案 (1)B (2)A

　　规律方法

　　已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；

　　已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

　　【例2】 (20xx·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小；

　　(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状。

　　解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，

　　得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，

　　即bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a21

　　∴cos A＝2bc＝2，

　　∴A＝60°.

　　(2)∵A＋B＋C＝180°，

　　∴B＋C＝180°－60°＝120°

　　由sin B＋sin C＝3，

　　得sin B＋sin(120°－B)＝3，

　　∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3. 33

　　∴2sin B＋2B＝3，

　　即sin(B＋30°)＝1. ∵0°<b<120°，< p="">

　　∴30°<b＋30°<150°.< p="">

　　∴B＋30°＝90°，B＝60°.

　　∴A＝B＝C＝60°，

　　△ABC为等边三角形．

　　规律方法

　　解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；

　　或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系。另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响。

　　课堂小结

　　1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解。

　　2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明。

　　余弦定理优秀教学设计3

　　教材分析这是高三一轮复习，内容是必修5第一章解三角形。本章内容准备复习两课时。本节课是第一课时。标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后应落实在解三角形的应用上。通过本节学习，学生应当达到以下学习目标：

　　（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形。

　　（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法判断三角形形状的问题。本章内容与三角函数、向量联系密切。

　　作为复习课一方面将本章知识作一个梳理，另一方面通过整理归纳帮助学生进一步达到相应的学习目标。

　　学情分析学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。

　　教学目标知识目标：

　　（1）学生通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦、余弦定理的内容及其证明方法；会运用正、余弦定理与三角形内角和定理，面积公式解斜三角形的两类基本问题。

　　（2）学生学会分析问题，合理选用定理解决三角形综合问题。

　　能力目标：

　　培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。

　　情感目标：

　　通过生活实例探究回顾三角函数、正余弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值，在教学过程中激发学生的探索精神。

　　教学方法探究式教学、讲练结合

　　重点难点

　　1、正、余弦定理的对于解解三角形的合理选择；

　　2、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

　　教学策略

　　1、重视多种教学方法有效整合。

　　2、重视提出问题、解决问题策略的指导。

　　3、重视加强前后知识的密切联系。

　　4、重视加强数学实践能力的培养。

　　5、注意避免过于繁琐的形式化训练。

　　6、教学过程体现“实践→认识→实践”。

　　设计意图：

　　学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。作为复习课一方面要将本章知识作一个梳理，另一方面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题，合理选用并熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形综合问题和实际应用问题。

　　数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。虽然是复习课，但我们不能一味的讲题，在教学中应体现以下教学思想：

　　⑴重视教学各环节的合理安排：

　　在生活实践中提出问题，再引导学生带着问题对新知进行探究，然后引导学生回顾旧知识与方法，引出课题。激发学生继续学习新知的欲望，使学生的知识结构呈一个螺旋上升的状态，符合学生的认知规律。

　　⑵重视多种教学方法有效整合，以讲练结合法、分析引导法、变式训练法等多种方法贯穿整个教学过程。

　　⑶重视提出问题、解决问题策略的指导。共3页，当前第1页123

　　⑷重视加强前后知识的密切联系。对于新知识的探究，必须增加足够的预备知识，做好衔接。要对学生已有的知识进行分析、整理和筛选，把对学生后继学习中有需要的.知识选择出来，在新知识介绍之前进行复习。

　　⑸注意避免过于繁琐的形式化训练。从数学教学的传统上看解三角形内容有不少高度技巧化、形式化的问题，我们在教学过程中应该注意尽量避免这一类问题的出现。

　　二、实施教学过程

　　（一）创设情境、揭示提出课题

　　引例：要测量南北两岸a、b两个建筑物之间的距离，在南岸选取相距a点km的c点，并通过经纬仪测的，你能计算出a、b之间的距离吗？若人在南岸要测量对岸b、d两个建筑物之间的距离，该如何进行？

　　（二）复习回顾、知识梳理

　　1．正弦定理：

　　正弦定理的变形：

　　利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题。

　　（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

　　（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。（从而进一步求出其他的边和角）

　　2．余弦定理：

　　a2=b2+c2－2bccosa；

　　b2=c2+a2－2cacosb；

　　c2=a2+b2－2abcosc。

　　cosa=；

　　cosb=；

　　cosc=。

　　利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

　　（1）已知三边，求三个角；

　　（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

　　3．三角形面积公式：

　　（三）自主检测、知识巩固

　　（四）典例导航、知识拓展

　　【例1】 △abc的三个内角a、b、c的对边分别是a、b、c，如果a2=b（b+c），求证：a=2b。

　　剖析：研究三角形问题一般有两种思路。一是边化角，二是角化边。

　　证明：用正弦定理，a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc，代入a2=b（b+c）中，得sin2a=sinb（sinb+sinc）sin2a－sin2b=sinbsinc

　　因为a、b、c为三角形的三内角，所以sin（a+b）≠0。所以sin（a－b）=sinb。所以只能有a－b=b，即a=2b。

　　评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解。

　　思考讨论：该题若用余弦定理如何解决？

　　【例2】已知a、b、c分别是△abc的三个内角a、b、c所对的边，

　　（1）若△abc的面积为，c=2，a=600，求边a，b的值；

　　（2）若a=ccosb，且b=csina，试判断△abc的形状。

　　（五）变式训练、归纳整理

　　【例3】已知a、b、c分别是△abc的三个内角a、b、c所对的边，若bcosc=（2a—c）cosb

　　（1）求角b

　　（2）设，求a+c的值。

　　剖析：同样知道三角形中边角关系，利用正余弦定理边化角或角化边，从而解决问题，此题所变化的是与向量相结合，利用向量的模与数量积反映三角形的边角关系，把本质看清了，问题与例2类似解决。

　　此题分析后由学生自己作答，利用实物投影集体评价，再做归纳整理。

　　（解答略）

　　课时小结（由学生归纳总结，教师补充）

　　1、解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

　　2、根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边。并常用正余弦定理实施边角转化。

　　3、用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长。

　　4、应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。

　　5、正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问题。

　　课后作业：

　　材料三级跳。

　　创设情境，提出实际应用问题，揭示课题。

　　学生在探究问题时发现是解三角形问题，通过问答将知识作一梳理。

　　学生通过课前预热1、2、3、的快速作答，对正余弦定理的基本运用有了一定的回顾。

　　学生探讨。

　　知识的关联与拓展

　　正余弦定理与三角形内角和定理，面积公式的综合运用对学生来说也是难点，尤其是根据条件判断三角形形状。此处列举例2让学生进一步体会如何选择定理进行边角互化。

　　本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦和余弦定理的基础上而设置的复习内容，因此本课的教学有较多的处理办法。从解三角形的问题出发，对学过的知识进行分类，采用的例题是精心准备的，讲解也是至关重要的。一开始的复习回顾学生能够很好的回答正弦定理和余弦定理的基本内容，但对于两个定理的变形公式不知，也就是说对于公式的应用不熟练。设计中的自主检测帮助学生回顾记忆公式，对学生更有针对性的进行了训练。学生还是出现了问题，在遇到第一个正弦方程时，是只有一组解还是有两组解，这是难点。例1、例2是常规题，让学生应用数学知识求解问题，可用正弦定理，也可用余弦定理，帮助学生巩固正弦定理、余弦定理知识。

　　本节课授课对象为高三6班的学生，上课氛围非常活跃。考虑到这是一节复习课，学生已经知道了定理的内容，没有经历知识的发生与推导，所以兴趣不够，较沉闷。奥苏贝尔指出，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学。因而，在教学中，教师了解学生的真实的思维活动是一切教学工作的实际出发点。教师应当"接受"和"理解"学生的真实思想，尽管它可能是错误的或幼稚的，但却具有一定的"内在的"合理性，教师不应简单否定，而应努力去理解这些思想的产生与性质等等，只有真正理解了学生思维的发生发展过程，才能有的放矢地采取适当的教学措施以便帮助学生不断改进并最终实现自己的目标。由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。这些都是不足之处，比较遗憾。但相信随着课改实验的深入，这种状况会逐步改善。毕竟轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。所以新课标下的课堂将会是学生和教师共同成长的舞台！