圆和圆的位置关系 教案

圆和圆的位置关系 教案

　　作为一名辛苦耕耘的教育工作者，有必要进行细致的教案准备工作，教案是实施教学的主要依据，有着至关重要的作用。怎样写教案才更能起到其作用呢？以下是小编精心整理的圆和圆的位置关系 教案，欢迎阅读与收藏。

圆和圆的位置关系 教案1

　　目标：

　　知识目标：经历探索两个圆之间位置关系的过程；了解圆与圆之间的几种位置关系；了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系

　　重点和难点

　　重点：圆与圆之间的几种位置关系

　　难点：两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系

　　教学过程设计

　　一、从学生原有的认知结构提出问题

　　1）复习点与圆的位置关系；2）复习直线与圆的位置关系。

　　二、师生共同研究形成概念

　　1.书本引例

　　☆ 想一想 P 125 平移两个圆

　　利用平移实验直观地探索圆和圆的位置关系。

　　2.圆与圆的位置关系

　　每一种位置关系都可以先让学生想想应该用什么名称表达。在讲解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系时，可先让学生探索，老师不要生硬地把答案说出

　　☆ 巩固练习 若两圆没有交点，则这两个圆的位置关系是 相离 ；

　　若两圆有一个交点，则这两个圆的位置关系是 相切 ；

　　若两圆有两个交点，则这两个圆的位置关系是 相交 ；

　　☆ 想一想 书本P 126 想一想

　　通过实际例子让学生理解圆与圆的位置关系。

　　3.圆与圆相切的性质

　　☆ 想一想 书本P 127 想一想

　　旨在引导学生思考两圆相切的'性质：如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点，这一性质是下面议一议的基础。学生容易看出两圆相切图形的轴对称性及对称轴，但要说明切点在连心线上则有一定困难。

　　如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点

　　4.讲解例题

　　例1.已知⊙ 、⊙ 相交于点A、B，∠A B = 120°，∠A B = 60°， = 6cm。求：（1）∠ A 的度数；2）⊙ 的半径 和⊙ 的半径 。

　　5.讲解例题

　　例2.两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如图所示，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小。

　　三、随堂练习

　　1.书本 P 128 随堂练习

　　2.《练习册》 P 59

　　四、小结

　　圆与圆的位置关系；圆心距与两圆半径和两圆的关系。

　　五、作业

　　书本 P 130 习题3.9 1

　　六、教学后记

圆和圆的位置关系 教案2

　　教学目标

　　(一)教学知识点

　　1．了解圆与圆之间的几种位置关系．

　　2．了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．

　　(二) 能力训练要求

　　1．经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力．

　　2．通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．

　　(三)情感与价值观要求

　　1．通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

　　2．经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维．

　　教学重点

　　探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系．

　　教学难点

　　探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程．

　　教学方法

　　教师讲解与学生合作交流探索法

　　教具准备

　　投 影片三张

　　第一张：(记作3． 6A)

　　第二张：(记作3．6B)

　　第三张：(记作3．6C)

　　教学过程

　　Ⅰ．创设问题情境，引入新课

　　[师]我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交．它们的位置关系都有三种．今天我们要学习的内容是圆和圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢？没有调查就没有发言权．下面我们就来进行有关探讨．

　　Ⅱ．新课讲解

　　一、想一想

　　[师]大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？

　　[生]如自行车的两个车轮间的位置关 系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小两个圆环时两个圆环间的位置关系等．

　　[师]很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多．下面我们就来讨论这些位置关系分别是什么．

　　二、探索圆和圆的位置关系

　　在一张透明纸上作一个⊙O．再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2．把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？

　　[师]请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流．

　　[生]我总结出共有五种位置关系，如下图：

　　[师]大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外 部来考虑．

　　[生]如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；

　　(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；

　　(3)相交：两个圆有两个公共点，一 个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；

　　(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的`内部；

　　(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．

　　[师]总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗？

　　[生]外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；相交有两个公共点．

　　[师]因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．

　　经过大家的讨论我们可知：

　　投影片(24.3A)

　　(1)如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．

　　(2)如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离 ，相切

　　三、例题讲解

　　投影片(24.3B)

　　两个同样大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如图所示(点O，O＇是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直 线，TP、NP分别为两圆的切线，求TPN的大小．

　　分析：因为两个圆大小相同，所以 半径OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分别为两圆的切 线，所以PTOP，PNO＇P，即OPT＝O＇PN＝90，所以TPN等于36 0减去OPT＋O＇PN＋OPO＇即可．

　　解 ：∵OP＝OO＇＝PO＇，

　　△PO＇O是一个等边三角形．

　　OPO＇＝60．

　　又∵TP与NP分别为两圆的切线，

　　TPO ＝NPO＇＝90．

　　TPN＝360－290－60＝120．

　　四、想一想

　　如图(1)，⊙O1与⊙O2外切，这个图是 轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？切点与对称轴有什么位置关系？如果⊙O1与⊙O2内切呢？〔如图(2 )〕

　　[师]我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一 个轴对称图形呢？这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明．反证法的步骤有三 步：第一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误，则原来的结论成立．

　　证明：假设切点T不在O1O2上．

　　因为圆是轴对称图形，所以T关于O1O2的对称点T＇也是两圆的公共点，这与已知条件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假设不成立．

　　则T在O1O2上．

　　由此可知图(1)是轴对称图形，对 称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上．

　　在图(2)中应有同样的结论．

　　通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图(1)和图(2)都是轴对称图形，对称轴是它们的连心 线．

　　五、议一议

　　投影片(24.3C)

　　设两圆的半径分别为R和r．

　　(1)当两圆外切时，两圆圆心之间的距离(简称圆心距)d与R和r具有怎样的关系？反之当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？

　　(2)当两圆内切时(R＞r)，圆心距d与R和r具有怎样的关系？反之，当d与R和r满足这一关系时，这两个圆一定内切吗？

　　[师]如图，请大家互相交流．

　　[生]在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线 O1O2上，所以O1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即d＝R＋r；反之，当d＝R＋r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．

　　在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是 B．因为切点B在连心线O1O2上，所以 O1O2＝O1B－O2B，即d＝R－r；反之，当d＝R－r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2＝O1B－O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．

　　[师]由此可知，当两圆相外切时，有d＝R＋r，反过来，当d＝R＋r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R＋r．

　　当两圆相内切时，有d＝R－r，反过来，当d＝R－r时，两圆相内 切，即两圆相内切 d＝R－r．

　　Ⅲ．课堂练习

　　随堂练习

　　Ⅳ．课时小结

　　本节课学习了如下内容：

　　1．探索圆和圆的五种位置关系；

　　2．讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；

　　3． 探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与R和r之间的关系．

　　Ⅴ．课后作业 习题24.3

　　Ⅵ．活动与探究

　　已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径．

　　分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设⊙O 3的半径为r，则O1O3＝O2O3＝R＋r，连接OO3就有OO3O1O2，所以OO2O3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半径r．

　　解：连接O2O3、OO3，

　　O2OO3＝90，OO3＝2R－r，

　　O2O3＝R＋r，OO2＝R．

　　(R＋r)2＝(2R－r)2＋R2．

　　r＝ R．

　　板书设计

　　24.3 圆和圆的位置关系

　　一、1．想一想

　　2．探索圆和圆的位置关系

　　3．例题讲解

　　4．想一想

　　5．议一议

　　二、课堂练习

　　三、课时小结

　　四、课后作业

圆和圆的位置关系 教案3

　　1、教材分析

　　(1)知识结构

　　(2)重点、难点分析

　　重点：两圆的位置关系和两圆相交、相切的性质.它们是本节的主要内容，是圆的重要概念性知识，也是今后研究圆与圆问题的基础知识.

　　难点：两圆位置关系的判定与相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦的性质的运用.由于两圆位置关系有5种类型，特别是相离有外离和内含，相切有外切和内切，学生容易遗漏;而在相交圆的性质应用中，学生容易把“相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.”看成是真命题.

　　2、教法建议

　　本节内容需要两个课时.第一课时主要研究;第二课时相交两圆的性质.

　　(1)把课堂活动设计的重点放在如何调动学生的主体，让学生观察、分析、归纳概括，主动获得知识;

　　(2)要重视圆的对称美的教学，组织学生欣赏，在激发学生的学习兴趣中，获得知识，提高能力;

　　(3)在教学中，以分类思想为指导，以数形结合为方法，贯串整个教学过程.

　　第一课时

　　教学目标：

　　1.掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法;两圆连心线的性质;

　　2.通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力;

　　3.通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力.

　　教学重点：

　　两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系.

　　教学难点：

　　两圆位置关系及判定.

　　(一)复习、引出问题

　　1.复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的?

　　(教师主导，学生回忆、回答)直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交.各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的

　　2.引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢?

　　(二)观察、分类，得出概念

　　1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义：

　　(1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.(图(1))

　　(2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(2))

　　(3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交.(图(3))

　　(4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(图(4))

　　(5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)).两圆同心是两圆内含的一个特例.(图(6))

　　2、归纳：

　　(1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点.

　　(2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一

　　(3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含);相交;相切(外切和内切).

　　教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离;有一个公共点则相切;有两个公共点则相交.除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点?

　　结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系.

　　(三)分析、研究

　　1、相切两圆的性质.

　　让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质：

　　如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.

　　这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明

　　2、两圆位置关系的数量特征.

　　设两圆半径分别为R和r.圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系.(图形略)

　　两圆外切d=R+r;

　　两圆内切d=R-r(R>r);

　　两圆外离d>R+r;

　　两圆内含dr);

　　两圆相交R-r

　　说明：注重“数形结合”思想的教学.

　　(四)应用、练习

　　例1：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米

　　求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少?

　　(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少?

　　解：(1)设⊙P与⊙O外切与点A，则

　　PA=PO-OA

　　∴PA=3cm.

　　(2)设⊙P与⊙O内切与点B，则

　　PB=PO+OB

　　∴PB=13cm.

　　例2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作.

　　求证：⊙O与⊙B相外切.

　　证明：连结BO，∵AC为⊙O的直径，AC=12，

　　∴⊙O的半径，且O是AC的中点

　　∴，∵∠C=90°且BC=8，

　　∴，

　　∵⊙O的半径，⊙B的半径，

　　∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切.

　　练习(P138)

　　(五)小结

　　知识：①两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含;

　　②以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系;

　　③两圆相切时切点在连心线上的性质.

　　能力：观察、分析、分类、数形结合等能力.

　　思想方法：分类思想、数形结合思想.

　　(六)作业

　　教材P151中习题A组2，3，4题.

　　第二课时相交两圆的性质

　　教学目标

　　1、掌握相交两圆的性质定理;

　　2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法;

　　3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力;

　　4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美.

　　教学重点

　　相交两圆的性质及应用.

　　教学难点

　　应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线.

　　教学活动设计

　　(一)图形的对称美

　　相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形.相交两圆具有什么性质呢?

　　(二)观察、猜想、证明

　　1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形.

　　2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”.

　　3、证明：

　　对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织;对B、C层在教师引导下完成.

　　已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.

　　求证：Q1O2是AB的垂直平分线.

　　分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B.

　　证明：连结O1A、O1B、O2A、O2B，∵O1A=O1B，

　　∴O1点在AB的垂直平分线上.

　　又∵O2A=O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上.

　　因此O1O2是AB的垂直平分线.

　　也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：

　　∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴.

　　∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上.

　　∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，

　　∴连心线O1O2是AB的`垂直平分线.

　　定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

　　注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.

　　(三)应用、反思

　　例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。

　　求∠OlAB的度数.

　　分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，

　　又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙Ol和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由

　　∠OlAO2=60°，推得∠OlAB=30°.

　　解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆

　　∴OlA=O1O2=AO2

　　∴∠O1AO2=60°，

　　又AB⊥O1O2

　　∴∠OlAB=30°.

　　例2、已知，如图，A是⊙Ol、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙Ol、⊙O2于M、N。

　　求证：AM=AN.

　　证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC=AM，AD=AN.

　　∵OlP=O2P，∴AD=AM，∴AM=AN.

　　例3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.

　　求证：EC∥DF

　　证明：连结AB

　　∵在⊙O2中∠F=∠CAB，

　　在⊙Ol中∠CAB=∠E，

　　∴∠F=∠E，∴EC∥DF.

　　反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解.

　　(四)小结

　　知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据.

　　能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用;②圆的对称性的应用.

　　(五)作业教材P152习题A组7、8、9题;B组1题.

　　探究活动

　　问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn.

　　(1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系;

　　(2)当n=3时，判断Cl+C2+C3与C的大小关系;

　　(3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论.

　　提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得(1)Cl+C2=C;(2)Cl+C2+C3=C;(3)Cl十C2十…十Cn=C.

　　问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转?

　　提示：1、实验：用硬币作初步实验;结果硬币一共转了4转.

　　2、分析：当你把动圆无滑动地沿着圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了.在我们这个题目中，那动圆绕着相当于它的圆周长的的弧线旋转的时候，一共走过的不是转;而是转，因此，它绕过六个这样的弧形的时，就转了转。