一元二次方程的应用题

一元二次方程的应用题

　　一元二次方程的应用题（1）

　　一、增长率问题

　　例1 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。

　　解 设这两个月的平均增长率是x。，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，

　　即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）。

　　答 这两个月的平均增长率是10%。

　　说明 这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2＝n求解，其中m＜n。对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1－x)2＝n即可求解，其中m＞n。

　　二、商品定价

　　例2 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

　　解 根据题意，得(a－21)(350－10a)＝400，整理，得a2－56a+775＝0，

　　解这个方程，得a1＝25，a2＝31。

　　因为21×(1+20%)＝25.2，所以a2=31不合题意，舍去。

　　所以350－10a＝350－10×25＝100（件）。

　　答 需要进货100件，每件商品应定价25元。

　　说明 商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点。

　　三、储蓄问题

　　例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率。（假设不计利息税）

　　解 设第一次存款时的年利率为x。

　　则根据题意，得[1000(1+x)－500](1+0.9x)＝530。整理，得90x2+145x－3＝0。

　　解这个方程，得x1≈0.0204＝2.04%，x2≈－1.63。由于存款利率不能为负数，所以将x2≈－1.63舍去。

　　答 第一次存款的年利率约是2.04%。

　　说明 这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税。

　　四、趣味问题

　　例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

　　解 设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m。

　　则根据题意，得 (x+0.1+x+1。4+0.1)·x＝1.8，整理，得x2+0.8x－1.8＝0。

　　解这个方程，得x1＝－1.8（舍去），x2＝1。

　　所以x+1。4+0.1＝1+1.4+0.1＝2.5。

　　答 渠道的上口宽2.5m，渠深1m。

　　说明 求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解。

　　五、古诗问题

　　例5 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）。

　　大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

　　而立之年督东吴，早逝英年两位数；

　　十位恰小个位三，个位平方与寿符；

　　哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

　　解 设周瑜逝世时的.年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3。

　　则根据题意，得x2＝10(x－3)+x，即x2-11x+30＝0，解这个方程，得x＝5或x＝6。

　　当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

　　当x＝6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意。

　　答 周瑜去世的年龄为36岁。

　　说明 本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味。

　　六、象棋比赛

　　例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分。如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985。经核实，有一位同学统计无误。试计算这次比赛共有多少个选手参加。

　　解 设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n－1)个选手比赛一局，共计n(n－1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为 n(n－1)局。由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n－1)分。显然(n－1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，因此总分只能是1980，于是由n(n－1)＝1980，得n2－n－1980＝0，解得n1＝45，n2＝－44（舍去）。

　　答 参加比赛的选手共有45人。

　　说明 类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解。

　　七、情景对话

　　例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了对话中收费标准。

　　某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元。请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

　　解 设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游。因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数一定超过25人。

　　则根据题意，得[1000－20(x－25)]x＝27000。

　　整理，得x2－75x+1350＝0，解这个方程，得x1＝45，x2＝30。

　　当x＝45时，1000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1；

　　当x2＝30时，1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意。

　　答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游。

　　说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论。

　　一元二次方程的应用题（2）

　　1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________；

　　2、宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机，一月至六月份的产量如下：

　　（1）求上半年鼓风机月产量和平均数、中位数；

　　（2）由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七、八月鼓风机生产量平均每月的增长率是多少？

　　3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加

　　（1）根据提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地面积为 _______公顷，比2000年底增加了_______公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中， 绿地面积增加最多的是 _______ 年；

　　（2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地总面积达到72．6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．

　　专题：行程问题：

　　1、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？

　　2、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千米到科技展览馆参观。返回时比去时每小题少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时。求学生返回时步行的速度

　　3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时。请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速。

　　专题：经济问题：

　　1、某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．

　　2、黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？

　　3、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2。8元现售，并快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0。5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？，若赚钱，赚多少？

　　专题：工程问题：

　　1、为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天。为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？

　　2、某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．

　　（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．

　　（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？

　　3、一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料显示：若两队合作6天可完成，共需工程费10200元；若甲单独完成，甲队比乙队少用5天，但甲队的工程费每天比乙队多300元。

　　（1）甲单独完成需要几天？

　　（2）工程指挥部决定从两个队中？一个队单独完成此工程，若从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？为什么？