椭圆知识点总结

椭圆知识点总结

　　在平平淡淡的学习中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。掌握知识点有助于大家更好的学习。下面是小编收集整理的椭圆知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

　　椭圆知识点总结 1

　　⑴集合与简易逻辑：集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件。

　　⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用。

　　⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用。

　　⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用。

　　⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用。

　　⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用。

　　⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系。

　　⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用。

　　⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。

　　⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布。

　　⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用。

　　⒀复数：复数的概念与运算。

　　椭圆知识点总结 2

　　正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

　　余弦定理b2=a2+c2—2accosB注：角B是边a和边c的夹角

　　圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2注：（a，b）是圆心坐标

　　圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2—4F>0

　　抛物线标准方程y2=2pxy2=—2pxx2=2pyx2=—2py

　　直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c*h

　　正棱锥侧面积S=1/2c*h正棱台侧面积S=1/2（c+c）h

　　圆台侧面积S=1/2（c+c）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi*r2

　　圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l

　　弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r

　　锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h

　　斜棱柱体积V=SL注：其中，S是直截面面积，L是侧棱长

　　柱体体积公式V=s*h圆柱体V=p*r2h

　　乘法与因式分a2—b2=（a+b）（a—b）a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）a3—b3=（a—b（a2+ab+b2）

　　三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a—b|≤|a|+|b||a|≤b<=>—b≤a≤b

　　|a—b|≥|a|—|b|—|a|≤a≤|a|

　　一元二次方程的解—b+√（b2—4ac）/2a—b—√（b2—4ac）/2a

　　根与系数的关系X1+X2=—b/aX1*X2=c/a注：韦达定理

　　判别式

　　b2—4ac=0注：方程有两个相等的实根

　　b2—4ac>0注：方程有两个不等的实根

　　b2—4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根

　　椭圆知识点总结 3

　　两角和公式

　　sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A—B）=sinAcosB—sinBcosA

　　cos（A+B）=cosAcosB—sinAsinBcos（A—B）=cosAcosB+sinAsinB

　　tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1—tanAtanB）tan（A—B）=（tanA—tanB）/（1+tanAtanB）

　　ctg（A+B）=（ctgActgB—1）/（ctgB+ctgA）ctg（A—B）=（ctgActgB+1）/（ctgB—ctgA）

　　倍角公式

　　tan2A=2tanA/（1—tan2A）ctg2A=（ctg2A—1）/2ctga

　　cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a

　　半角公式

　　sin（A/2）=√（（1—cosA）/2）sin（A/2）=—√（（1—cosA）/2）

　　cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=—√（（1+cosA）/2）

　　tan（A/2）=√（（1—cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=—√（（1—cosA）/（（1+cosA））

　　ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1—cosA））ctg（A/2）=—√（（1+cosA）/（（1—cosA））

　　和差化积

　　2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A—B）2cosAsinB=sin（A+B）—sin（A—B）

　　2cosAcosB=cos（A+B）—sin（A—B）—2sinAsinB=cos（A+B）—cos（A—B）

　　sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A—B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A—B）/2）

　　tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA—tanB=sin（A—B）/cosAcosB

　　ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB—ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB

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　　椭圆知识点总结

　　1.椭圆的概念

　　在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

　　集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

　　(1)若a>c，则集合P为椭圆；

　　(2)若a=c，则集合P为线段；

　　(3)若a

　　2.椭圆的标准方程和几何性质

　　一条规律

　　椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：

　　两种方法

　　(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

　　(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程.

　　三种技巧

　　(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c.

　　(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0

　　(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：

　　①中心是否在原点；

　　②对称轴是否为坐标轴.

　　椭圆方程的第一定义：

　　⑴①椭圆的标准方程：

　　i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：.

　　②一般方程：.

　　③椭圆的标准参数方程：的参数方程为(一象限应是属于).

　　⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：.⑦焦点半径：

　　i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则

　　由椭圆方程的第二定义可以推出.

　　ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则

　　由椭圆方程的第二定义可以推出.

　　由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.

　　注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.

　　⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经。坐标：和

　　⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

　　(4)若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为(用余弦定理与可得). 若是双曲线，则面积为.

　　椭圆知识点总结 5

　　知识点一椭圆的定义

　　平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

　　根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满足集合，且都为常数。

　　当即时，集合P为椭圆。

　　当即时，集合P为线段。

　　当即时，集合P为空集。

　　知识点二椭圆的标准方程

　　(1)、焦点在轴上时，焦点为，焦点。

　　(2)、焦点在轴上时，焦点为，焦点。

　　知识点三椭圆方程的一般式

　　这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考：

　　(其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。方程可变形为。

　　当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。

　　一般式，通常也设为，应特别注意均大于0，标准方程为。

　　知识点四椭圆标准方程的求法

　　1.定义法

　　椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一，当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。

　　例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(-1，0)C(1，0)，求满足，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。

　　变式练习1.在△ABC中，点B(-6，0)、C(0，8)，且成等差数列。

　　(1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。

　　(2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。

　　2.待定系数法

　　首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满足的等式，求得的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。

　　例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，0)，=3b，求椭圆的标准方程。

　　例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。

　　变式练习2.求适合下列条件的椭圆的方程；

　　(1)两个焦点分别是(-3，0)，(3，0)且经过点(5，0).

　　(2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12.

　　3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。

　　4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆标准方程。

　　知识点五共焦点的椭圆方程的求解

　　一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为。

　　例4、过点(-3，2)且与有相同焦点的椭圆的方程为()

　　A.B.C.D.

　　变式练习5.求经过点(2，-3)且椭圆有共同焦点的椭圆方程。

　　知识点六与椭圆有关的轨迹问题的求解方法

　　与椭圆有关的轨迹方程的求解是一种很重要的题型，教材中的例题就是利用代入求球轨。迹，其基本思路是设出轨迹上一点和已知曲线上一点，建立其关系，再代入。

　　例5、已知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，点在上，并且，求点的轨迹。

　　知识点七与弦的中点有关问题的求解方法

　　直线与椭圆相交于两点、,称线段为椭圆的相交弦。与这个弦中点有点的轨迹问题是一类综合性很强的题目，因此解此类问题必须选择一个合理的方法，如“设而不求”法，其主要特点是巧代线段的斜率。其方程具体是：设直线与椭圆相交于两点，坐标分别为、，线段的中点为，则有

　　①式-②式，得，即

　　∴

　　通常将此方程用于求弦中点的轨迹方程。

　　例6.已知：椭圆，求：

　　(1)以P(2，-1)为中点的弦所在直线的方程；

　　(2)斜率为2的相交弦中点的轨迹方程；

　　(3)过Q(8，2)的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。

　　第二部分：巩固练习

　　1.设为椭圆的焦点，P为椭圆上一点，则的周长是()

　　A.16B.8C.D.无法确定

　　2.椭圆的两个焦点之间的距离为()

　　A.12B.4C.3D.2

　　3.椭圆的一个焦点是(0，2)，那么等于()

　　A.-1B.1C.D.-

　　4.已知椭圆的焦点是，P是椭圆上的一个动点，如果延长到，使得，那么动点的轨迹是()

　　A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线

　　5.已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是__________.

　　6.椭圆的焦点坐标是___________.

　　7.椭圆的焦距为2，则正数的值____________.