《提公因式法》数学教案

《提公因式法》数学教案

　　作为一位杰出的教职工，就不得不需要编写教案，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。那么应当如何写教案呢？以下是小编为大家整理的《提公因式法》数学教案，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

　　《提公因式法》数学教案 1

　　教学目标

　　1、使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系、

　　2、使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式、

　　3、通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.

　　教学重点及难点

　　教学重点：

　　因式分解的概念及提公因式法、

　　教学难点：

　　正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系、

　　教学过程：

　　一、复习提问

　　乘法对加法的分配律、

　　二、新课

　　1、新课引入：用类比的方法引入课题、

　　在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)、例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7、

　　在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法、

　　2、因式分解的概念：

　　请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果、(老师按学生所说在黑板写出几个、)

　　如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc

　　2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

　　(a+b)(a-b)＝a2-b2

　　(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn

　　(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等、

　　再请学生观察它们有什么共同的特点？

　　特点：左边，整式×整式；右边，是多项式、

　　可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解、

　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式、

　　如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)、

　　整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc、

　　让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别、

　　联系：同样是由几个相同的整式组成的等式、

　　区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法、两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式、

　　例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？（投影）

　　(1)x2-x＝x(x-1) (√)

　　(2)a(a-b)＝a2-ab (×)

　　(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)

　　(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)

　　(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)

　　下面我们学习几种常见的因式分解方法、

　　3、提公因式法：

　　我们看多项式：ma+mb+mc

　　请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式、

　　注意：公因式是各项都含有的公共的因式、

　　又如：a是多项式a2-a各项的公因式、

　　ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式、

　　2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式、

　　根据乘法的分配律，可得

　　m(a+b+c)＝ma+mb+mc，

　　逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式

　　ma+mb+mc＝m(a+b+c)、

　　这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法、

　　定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多 项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法、

　　显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式、让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的.万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式：

　　(1)ax+ay+a (a)

　　(2)3mx-6mx2 (3mx)

　　(3)4a2+10ah (2a)

　　(4)x2y+xy2 (xy)

　　(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

　　例3 把8a3b2-12ab3c分解因式、

　　分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式、

　　先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2、

　　解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)、

　　说明：

　　(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取、

　　(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出、①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解、

　　例4 把3x2-6xy+x 分解因式、

　　分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1、

　　解：3x2-6xy+x

　　=x·3x-x·6y+x·1

　　＝x(3x-6y+1)、

　　说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因、还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项、

　　课堂练习：（投影）

　　把下列各式分解因式：

　　(l)2πR+2πr；

　　(2)

　　(3)3x3+6x2；

　　(4)21a2+7a；

　　(5)15a2+25ab2；

　　(6)x2y+xy2-xy、

　　例5 把-4m3+16m2-26m分解因式、

　　分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提"-"号时，注意添括号法则、

　　解：-4m3+16m2-26m

　　＝-(4m3-16m2+26m)

　　＝-2m(2m2-8m+13)、

　　说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式、

　　课堂练习：（投影）

　　把下列各式分解因式：

　　(1)-15ax-20a；

　　(2)-25x8+125x16；

　　(3)-a3b2+a2b3；

　　(4)-x3y3-x2y2-xy；

　　(5)-3ma3+6ma2-12ma；

　　(6)

　　三、小结

　　1、因式分解的意义及其概念、

　　2、因式分解与整式乘法的联系与区别、

　　3、公因式及提公因式法、

　　4、提公因式法因式分解中应注意的问题、

　　四、作业

　　教材 P、10中 1、2、3、4、

　　五、板书设计

　　《提公因式法》数学教案 2

　　一、教材分析

　　本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．

　　二、学生知识状况分析

　　学生的技能基础：

　　在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．

　　学生活动经验基础：

　　学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．

　　三、教学目标

　　知识与技能

　　1、经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中能确定多项式的公因式。

　　2、 会用提公因式法把多项式分解因式。

　　3、 培养学生解决问题的能力。

　　过程与方法

　　在探索过程中培养学生解决问题的主动性，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想。

　　情感、态度与价值观

　　在数学活动中培养学生的合作意识和创新精神，体会数学知识间的整体联系。

　　教学重点：会用提公因式法分解因式。

　　教学难点：正确找出多项式中各项的公因式，并注意各项变形的符号问题。

　　四、教学过程设计

　　（一） 温故知新

　　活动内容：计算： 采用什么方法？依据是什么？

　　活动目的：旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。

　　（二） 想一想

　　活动内容：

　　多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 3x2+x呢？多项式mb2+nb–b呢？

　　结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．

　　活动目的：在学生能顺利地寻找数的公因数之后，再引导学生采用类比的方法在多项式中寻找相同的因式．

　　（三） 议一议

　　活动内容：

　　多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？

　　结论：

　　（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；

　　（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

　　（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．

　　活动目的：公因式由简单到复杂，由于第一个多项式提供的比较简单，寻找的公因式不具备归纳的条件，而后面所提供的寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式只是多了含字母y的因式，对比前一个公因式，通过寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，可顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力

　　具备了归纳出怎样寻找多项式各项公因式的条件，培养学生的初步归纳能力．

　　（四） 试一试

　　活动内容：

　　将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：

　　（1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nb–b

　　如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

　　活动目的：

　　让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．

　　（五） 做一做

　　活动内容：将下列多项式进行分解因式：

　　（1）3x+ （2）7x –21 （3） 8a3b2–12ab3c+ab （4）–24x3+12x2－28x

　　先让学生思考这些问题，然后教师在教学中注意讲清确定公因式的具体步骤，从系数、字母和字母的次数3个方面进行分析；讲完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式，另一个因式是否还有公因式？从而把提取公因式的“提”的具体含意深刻化。

　　最后学生归纳：提取公因式的步骤：

　　（1）找公因式；

　　（2）提公因式．

　　易出现的问题：

　　（1）第二题只提出7x作为公因式

　　（2）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”；

　　（3）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．

　　教师提醒：

　　（1）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

　　（2）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；

　　（3）如果多项式的首项为“–”时，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；

　　（4）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．

　　活动目的：根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．

　　（六）想一想：提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？

　　活动目的：通过学生的'回顾与思考，强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解。

　　（七）反馈练习

　　活动内容：

　　1、找出下列各多项式的公因式：

　　（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn–24m2n3 （4）a2b–2ab2+ab

　　2、把下列各式因式分解：（随堂练习）

　　活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．通过查缺补漏强化学生确定公因式的方法及提公因式法的步骤，能熟练地利用提公因式法分解因式。

　　五、教学反思

　　由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程、二次根式化简等中都要用到因式分解的知识。因此应该注重因式分解的概念和方法的教学。

　　本节运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由提公因数到找公因式，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解。