抛物线的定义及其标准方程教学设计案例

抛物线的定义及其标准方程教学设计案例

　　抛物线的定义及其标准方程教学设计

　　1.目标和目标解析

　　（１）知识目标：

　　理解并掌握抛物线的定义及其标准方程；会求抛物线的标准方程。

　　（２）能力目标：

　　通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想

　　2.教学问题诊断

　　坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。通过合作交流，探究不同的建系方案，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性，进一步感受坐标法的思想。在推导抛物线四种形式的标准方程的过程中，理解焦参数 的几何意义；能根据条件求出抛物线的标准方程；会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程.根据以上教学内容及要求，拟定教学重、难点如下

　　（1）教学重点：抛物线的定义及其标准方程。

　　（2）教学难点：抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导

　　3.教学支持条件分析

　　新课程大力倡导积极主动、勇于探索的学习方式，为的是使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展学生的创新意识。在本节课中，将通过适当的问题情景，在“实验”、“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动中，引导学生自己发现问题、提出问题、解决问题。课堂上真正以学生发展为本，鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与；鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途经，使他们经历知识形成的过程。最大限度地让学生在活动中学习，在主动中发展，在合作中增知，在交流中深入，在探究中创新，并达成教与学的互促互动、相得益彰的良性循环的最优局面。

　　教学方法：启导探究式

　　教学用具：多媒体课件

　　4.教学过程设计

　　（1）设置情景，引发探究

　　①课件演示：用几何画板设置一个直观性问题情景，已知F是平面上一个定点， 是平面上不过点F的一条定直线，点M到定点F的距离和到定直线 的距离的比是一个常数e，改变这两个距离大小的关系（即常数e的大小），观察动点M的轨迹。

　　②学生观察 ：两个距离大小的变化；并追踪：动点M得到的轨迹形状。然后记下实验追踪结果。

　　③学生交流：当o＜e＜1时动点M得到的轨迹是椭圆；当e＞1时是双曲线。

　　④引发探究：进而引发探究欲望：当e=1时，它又是什么曲线呢？

　　设计意图：数学教学需要一定问题情景的支撑，恰当的问题情景能

　　激起学生的情感体验，有利于学生学习兴趣的激发，也有利于学生良好数学观的形成。因此，在教学中，应力求通过恰当问题情景的创设，让学生产生积极的学习心态，在具体的情景中实现知识的学习。上述教学设计通过信息技术设置一个直观性问题情景，激发了学生探究的欲望，这时学生自然地产生了探究当动点到一定点距离与定直线距离相等（即 ）时点的轨迹到底是什么的强烈愿望。让学生在“观察”、“思考”、“探究”等活动中，自己发现问题、提出问题。

　　（2）观察归纳，形成定义

　　①观察：当e=1时，曲线上的动点满足怎样几何特征？让学生通过独立思考和互相讨论，并交流看法。针对学生的回答进行引导，把学生的思维一步步引入发现规律的最近区域，最终使得学生发现：曲线上的点到定点的距离和到一条定直线的距离相等。

　　②归纳：抛物线的定义

　　要求学生用自己的语言描述什么样的曲线是抛物线。规范学生的语言描述，提出抛物线定义的书面文字。

　　定义：平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。强调定义的中心句和关键词（让学生自己找出）。并与椭圆、双曲线的定义进行比较。

　　③反思：在抛物线定义中，要注意定点F不在定直线 上。 若定点F在定直线 上，则动点的轨迹又是什么图形呢？（此时退化为过F点且与直线 垂直的一条直线）。

　　④欣赏：让同学们说一说生活中有哪些图形是抛物线。然后教师用幻灯片播放一些典型的抛物线型标志性建筑，如中国的赵州桥，世界第一大拱桥——卢浦大桥、北京奥运会主场馆的拱顶、夜色下喷水池喷出的彩色水流等，让学生欣赏审美，陶冶情操，激发兴趣。

　　设计意图：由上述直观性问题情景引出了抛物线定义，顺理成章。教学中处处注重师生之间的互动，注重学生观察、比较、分析、概括能力的培养，注重反思环节的落实。通过学生亲身实践、主动思维，让学生在实践中得到体验，在反思中产生感悟，使学生学会思考并养成自主学习、勇于探索的良好习惯。通过让学生动口参与教学活动，培养了学生自然观察的能力和数学语言的表达能力；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。

　　（3）合作交流，导出方程

　　①类比：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程（用屏幕显示图形），让学生认真捉摸坐标系的位置特点，感悟求抛物线的方程应建立怎样的直角坐标系最好（力求使其方程形式最简单）。也可以帮助学生回顾初中二次函数图象的平移变化，从而感悟到要得到抛物线的最简方程，必须使图象过坐标原点（可使常数项为零）；使图象的对称轴为x轴(或y轴)（可使方程中不含y(或x)的一次项）。

　　②合作：师生合作共同推导抛物线的标准方程

　　请学生将自己的感悟画在纸板上。学生分两人一组互相讨论，老师展示几组学生的建系方案，一一作出评价。

　　选择正确的一个建系方案师生一起探究抛物线方程的建立。

　　如推导焦点F在x轴正半轴上的抛物线标准方程。

　　设焦点F在x轴的正半轴上，焦点F到准线L的垂线段FN的垂直平分线为y轴，设|FN|=p。

　　请学生口头叙述焦点F的坐标和准线L的方程。

　　师生共同推导出抛物线方程：y2=2px（p>0）

　　指出这个方程叫做抛物线的标准方程。它表示焦点F 在x轴正半

　　轴上，顶点在原点的抛物线, 其准线为

　　③反思：建系方案的合理性。

　　在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系。这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

　　④探究：抛物线的标准方程的其它形式

　　在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。那么抛物线的标准方程还有哪些不同形式？

　　让学生分组求出其它三种形式的标准方程，师生协作，填充抛物线标准方程的分类表格

　　再反思：抛物线四种形式的标准方程与图形间的对应关系及它们之间的内在联系。从前面求椭圆、双曲线、抛物线标准方程的过程中，你是否深刻感悟到：求轨迹方程时，如何才能建立适当的坐标系？

　　设计意图：教学过程是师生互相交流、共同参与的过程。数学通过交流，才能得以深入发展，数学思想才能变得更加清晰；通过多边合作，又可以增强学生的合作能力与群体创造意识。教学中，只有在师生密切合作、共同探索的氛围中数学交流才能得以真正实施。上述设计在探究抛物线标准方程时，通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动，让学生体验合作交流探究的学习过程，并自觉地建构起抛物线标准方程的知识系统。

　　（4）练习反馈，巩固提高

　　①会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程

　　例1 已知抛物线的标准方程是 , 求它的焦点坐标和准线方程（教材例1之（1））。

　　变式：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

　　⑴； ⑵ ；

　　感悟：你能说明二次函数 的图象为什么是抛物线吗？如何才能正确地求出它的焦点坐标、准线方程？

　　②能根据条件求出抛物线的标准方程

　　例2 已知抛物线的焦点是F ，求它的标准方程（教材例1之（2）） 。

　　变式：已知抛物线的焦点F到准线L的距离为4。根据下列条件求此抛物线的标准方程。

　　（1）若焦点F在y轴正半轴上；

　　（2）若焦点F在y轴上；

　　（3）若焦点F在x轴上；

　　（4）若焦点F在坐标轴上。

　　（5）焦点在直线 上（均由学生口答）

　　感悟：

　　①求给定抛物线的标准方程的基本方法是：待定系数法。关键是

　　定轴向——求p值——写方程。（若开口方向不定，则要注意分类讨论的思想。）

　　②在认识事物的过程中，我们不仅要善于从一些不同的事物中去发现它们的共同点，还要善于从一些相似的事物中去发现它们的不同点。

　　设计意图：以课本例题为本，通过变式训练这一环节，既让学生巩固和加深对抛物线及其标准方程的理解，又使学生在“练”的过程中通过反思、感悟，不断调整自己的认识结构和经验结构，完成人的经验自主建构的过程。

　　（5）自我总结，提炼升华

　　让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：

　　①抛物线的定义（其本质属性）；

　　②抛物线的标准方程（注意四种形式的异同）；

　　③求抛物线标准方程的基本方法：待定系数法。关键是：定轴向——求p值——写方程。

　　设计意图：引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进目标达成。

　　5.目标检测设计

　　（1）书面作业：A组1（2）、（4）；4（1）（2）（必做）

　　补充：求经过点p（4，-2）的抛物线的标准方程。（选做）

　　（2）课后探究：

　　① 的几何意义是焦点到准线的距离，其实也是抛物线的定形条件。你能说出焦参数 对抛物线的开口大小有什么影响吗？

　　②同学们在初中学习过二次函数，为什么二次函数 的图象是抛物线？

　　设计意图：为体现以学生发展为本的理念，使不同学生在数学上获得不同的发展，本作业依一定梯度进行设计，并抛出两个课后探究性问题，既是对本节课有关内容的延伸、拓展，回应了本节课内容，又是为下继内容作些铺垫、畜势，让学生有“意尤未尽”之感。同时形成开放性学习环境，满足了不同学生的需要，体现了个性化的学习，目的是努力使每一位学生都能得到成功的体验。