函数奇偶性练习题

函数奇偶性练习题精选

　　函数奇偶性练习题精选

　　11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．

　　答案 0

　　512．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(＝________. 2

　　1答案 － 2

　　5551111解析 依题意，得f(＝－f＝－f(－2)＝－f＝－2×(1－)＝－2222222

　　13．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图像关于________点对称．

　　答案 (0,1)

　　解析 f(x)的`图像是由y＝x3＋sinx的图像向上平移一个单位得到的．

　　14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为________． 答案 －4

　　15．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－

　　11)，f(4)，f(5的大小关系是__________． 2

　　1答案 f(5)<f(－1)<f(4) 2

　　解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数，

　　∴y＝f(x)关于x＝2对称．

　　又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数，

　　∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)，

　　1∴f(5＜f(－1)＜f(4)． 2

　　16．(2015·湖北八校)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求：

　　(1)f(0)与f(2)的值；

　　(2)f(3)的值；

　　(3)f(2 013)＋f(－2 014)的值． B．－1 11D．－4

　　答案 (1)f(0)＝0，f(2)＝0 (2)f(3)＝－1 (3)1

　　解析 (2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.

　　(3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．

　　因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1.

　　17．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F(x)在(－∞，0)上的最小值．

　　答案 －4

　　解析 由题意知，当x>0时，F(x)≤8.

　　∵f(x)，g(x)都是奇函数，且当x<0时，－x>0.

　　∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2

　　＝－af(x)－bg(x)＋2

　　＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4≤8.

　　∴af(x)＋bg(x)＋2≥－4.

　　∴F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(－∞，0)上有最小值－

　　4.

　　1．已知f(x)是在R上的奇函数，f(1)＝2，且对任意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，则f(3)＝________；f(2 019)＝________.

　　答案 0 0

　　解析 在f(x＋6)＝f(x)＋f(3)中，令x＝－3，得f(3)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝0.

　　又f(x)是R上的奇函数，故f(3)＝0.

　　即f(x＋6)＝f(x)，知f(x)是周期为6的周期函数，从而f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝0.

　　12．若f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1)时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x＜0的解集2

　　为________．

　　11答案 {x|＜x＜} 24

　　解析 ∵f(x)为奇函数，且在[0,1)上为增函数，

　　∴f(x)在(－1,0)上也是增函数．

　　∴f(x)在(－1,1)上为增函数．

　　1f(x)＋f(x－＜0? 2

　　11f(x)＜－f(x)＝f(－x)? 22

　　1－1＜2－x＜1，