勾股定理重点知识点

2017精选关于勾股定理重点知识点

　　导语：勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。下面是小编为大家整理的，数学知识，更多相关信息请关CNFLA学习网!

　　一、勾股定理与逆定理

　　A.勾股定理

　　在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

　　1、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。

　　2、勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。

　　3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。

　　B.勾股定理的逆定理

　　如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。

　　说明：

　　①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等。

　　②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形。必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断。

　　(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。然后进一步结合其他已知条件来解决问题。

　　注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是。

　　面积分割法、构造直角三角形

　　二、实数与数轴

　　1、实数与数轴上的点是一一对应关系。

　　任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。

　　2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。

　　3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。

　　三、矩形的性质

　　1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

　　2、矩形的性质

　　①平行四边形的性质矩形都具有;

　　②角：矩形的四个角都是直角;

　　③边：邻边垂直;

　　④对角线：矩形的对角线相等;

　　⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点。

　　(3)由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　四、等腰三角形的性质

　　(1)等腰三角形的概念

　　有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

　　(2)等腰三角形的性质

　　①等腰三角形的两腰相等

　　②等腰三角形的两个底角相等。【简称：等边对等角】

　　③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。【三线合一】

　　(3)在①等腰;②底边上的高;③底边上的中线;④顶角平分线。以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论。

　　等边三角形的性质

　　(1)等边三角形的定义：三条边都相等的的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

　　①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法;

　　②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况。在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的的。

　　(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60° 。

　　等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴。

　　五、三角形的外角性质

　　(1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

　　三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对。

　　(2)三角形的外角性质：

　　①三角形的外角和为360°。

　　②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

　　③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。

　　(3)若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去。

　　(4)探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角。

　　三角形内角和定理

　　(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角。每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°。

　　(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180° 。

　　(3)三角形内角和定理的证明

　　证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角。在转化中借助平行线。

　　(4)三角形内角和定理的应用

　　主要用在求三角形中角的度数。①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角;③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角。

　　六、翻折变换(折叠问题)

　　1、翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换。

　　2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。

　　3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系.

　　首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件。解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案。我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数。

　　七、弧长的计算

　　(1)圆周长公式：C=2πR

　　(2)弧长公式：l=nπR180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)

　　①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位。

　　②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长。

　　③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示。

　　④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一。

　　八、多边形

　　(1)多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

　　(2)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

　　(3)正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

　　(4)多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧。②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形。

　　(5)重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心。 常见图形的重心(1)线段：中点(2)平行四边形：对角线的交点(3)三角形：三边中线的交点(4)任意多边形

　　九、三角形三边关系

　　(1)三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。

　　(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形。

　　(3)三角形的两边差小于第三边。

　　(4)在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略。

　　十、轴对称-最短路线问题

　　1、最短路线问题

　　在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点。

　　2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点。

　　十一、线段垂直平分线的性质

　　(1)定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线，简称“中垂线”。

　　(2)性质：

　　①垂直平分线垂直且平分其所在线段。

　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

　　十二、矩形的性质

　　(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

　　(2)矩形的性质

　　①平行四边形的性质矩形都具有;

　　②角：矩形的四个角都是直角;

　　③边：邻边垂直;

　　④对角线：矩形的对角线相等;

　　⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点。

　　(3)由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

　　十三、三角形中位线定理

　　(1)三角形中位线定理：

　　三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

　　(2)几何语言：

　　如图，

　　∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴CE∥BC ， DE=BC

　　十四、全等三角形的判定与性质

　　(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具。在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。

　　(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。

　　十五、正方形的性质

　　(1)正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

　　(2)正方形的性质

　　①正方形的四条边都相等，四个角都是直角;

　　②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角;

　　③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

　　④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴。