高中数学知识点：函数的极值与导数的关系

高中数学知识点：函数的极值与导数的关系

　　在平日的学习中，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是小编为大家整理的高中数学知识点：函数的极值与导数的关系，欢迎阅读与收藏。

　　极值的定义：

　　（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）

　　（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）>f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。

　　极值的性质：

　　（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；

　　（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；

　　（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；

　　（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

　　求函数f（x）的极值的步骤：

　　（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；

　　（2）求方程f′（x）=0的根；

　　（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。

　　函数求极值的方法总结：

　　一、利用二次方程的判别式求极值

　　在求某一类分式函数的极值时，若其分子或分母是关于x的二次式，可将其变为关于x的一元二次方程，根据x在实数范围内有解，由判别式求的。

　　例1、求函数y=求函数极值的若干方法的极值。

　　解：将原函变形为关于x的二次方程

　　（y-1）x求函数极值的若干方法-2yx-3y=0

　　∵x∈R，且x≠3，x≠-1，

　　∴上方程在实数范围内一定有解。

　　△= （-2y）求函数极值的若干方法 -4 （-3y）（y-1）= 4y（4y-3）≥0

　　解之得 y≤0 或 y≥ 求函数极值的若干方法

　　这里虽然y无最大（小）值，但对应于y=0和y=求函数极值的若干方法的x分别为x=0和x=-3，

　　所以当x=0时，y有极大值0，当x=-3时，y有极小值，求函数极值的若干方法。

　　例2、求函数y= 求函数极值的若干方法的值域。

　　解：将原函数变形得：y+yx 求函数极值的若干方法 =2x

　　∵x∈R，∴△= 4-4y 求函数极值的若干方法 ≥0，解之得：-1≤y≤1

　　∴函数y= 求函数极值的若干方法 值域为[-1，1]

　　由上面两例可以看出，用二次方程的判别式求函数的极值时，实际上就是将y看作x的系数，利用函数的定义域非空，即方程有解，将问题转化为解一元二次不等式。但要注意的是：在变型过程中，可能会将x的取值范围扩大，但所求函数的极值一定在不等式的解集内，此时，要注意检验，即招2出y取极值时的x是否有意义，若无意义必须舍去，再重新考虑其极值。

　　二、利用倒数关系求极值

　　对于有些分式函数，当其分子不含变量时，可由分母的极值来求整个函数的极值。

　　例3、求函数y=2- 求函数极值的若干方法 的最小值。

　　解：∵x 求函数极值的若干方法 -2x+6 = （x-1） 求函数极值的若干方法 +5＞0

　　∴函数的定义域为一切实数，又由x求函数极值的若干方法 -2x+6=（x-1） 求函数极值的若干方法 +5 知

　　当x=1时，求函数极值的若干方法 取最小值 求函数极值的若干方法 ，

　　∴ 求函数极值的若干方法 取最大值 求函数极值的若干方法 ，

　　此时 y=2- 求函数极值的若干方法 取最小值 2- 求函数极值的若干方法 ，

　　即 当x=1时，有y的最小值是 2- 求函数极值的若干方法 。

　　三、利用重要不等式求极值

　　对于一类各项积为定值，且每一项的符号相等的函数极值，可考虑用重要不等式解决。

　　例4、求函数y=4x+ 求函数极值的若干方法 的极值。

　　解：显然函数的定义域为不等于零的一切实数。

　　（1） 当x＞0时，y = 4x+ 求函数极值的若干方法 ≥2 求函数极值的若干方法 =2 求函数极值的若干方法 =12

　　∴当4x = 求函数极值的若干方法 时，即x = 求函数极值的若干方法 时，y有极小值12。

　　（2）当x＜0时，令x = -t，则t＞0。 y = 4x+9/x = - （4t+ 求函数极值的若干方法 ）≤-12

　　∴当x = 求函数极值的若干方法 时，y有极大值-12 。

　　在利用重要不等式解题时，一定要注意必须要求每一项均为正数，若均为负数时，可提取一个负号，使括号内每一项仍为正。上题中若只考虑第一种情况，就不完全了。

　　例5、已知l＜0，m＜0，求函数y= 求函数极值的若干方法 在（0，+∞）上的最大值。

　　分析：虽然x 求函数极值的若干方法 ·8x· 求函数极值的若干方法 =2 求函数极值的若干方法 为常数，但由x 求函数极值的若干方法 =8x= 求函数极值的若干方法 解不出实数x，即无实数解。故由y≥3 求函数极值的若干方法 =3·8=24得出y的最小值为24的结论是错误的，但如能把8x、64/x 求函数极值的若干方法 各分成相等的m项和n项，设法定出m、n、x，然后再求出y的最小值就行了。

　　解：设y=x 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 +……+ 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + 求函数极值的若干方法 + ……+ 求函数极值的若干方法 ，

　　（其中 求函数极值的若干方法 有m项，求函数极值的若干方法 有n项）。

　　即m= 求函数极值的若干方法 ，n= 求函数极值的若干方法 时（由x 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法 ，x 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法 得），y有最小值，

　　由2+ 求函数极值的若干方法 =3· 求函数极值的若干方法 （x 求函数极值的若干方法 ·x 求函数极值的若干方法 =x 求函数极值的若干方法 ）得x 求函数极值的若干方法 +4x=96，解此方程的唯一正数解x=2，

　　此时m = 4，n = 2当时，y的最小值为4+16+8=28（代回去求得）

　　y≥7 求函数极值的若干方法 = 7· 求函数极值的若干方法 = 7·4=28

　　四、利用换元法求极值

　　有些无理函数，往往用以上方法无法求出极值，此时可试用换元法求之。

　　例6、求函数 y= 求函数极值的若干方法 -x 在区间[0，1]上的最大值。

　　解：设 求函数极值的若干方法 = t，则0≤t≤1，且x = t 求函数极值的若干方法

　　∴当t=求函数极值的若干方法 即x= 求函数极值的若干方法 时，y取最大值 求函数极值的若干方法。

　　这里利用了换元法将无理式变形为二次求解，它是求无理函数极值的常用方法，特别是对形如 y=kx+ 求函数极值的若干方法 的函数，可令 t= 求函数极值的若干方法 化为关于的二次函数再利用配方法求得其极值。

　　例7、求函数y=x 求函数极值的若干方法 +1+2x（1-x 求函数极值的若干方法 ）的最大值和最小值

　　解：∵y的定义域为[-1，1]，故可令x=cosθ（0≤θ≤π），

　　则 y= 求函数极值的若干方法

　　= 求函数极值的若干方法 （其y=中求函数极值的若干方法 为锐角，且 求函数极值的若干方法 ）

　　∵-1≤sin（2θ+α）≤1，

　　∴ 求函数极值的若干方法 ≤y≤ 求函数极值的若干方法

　　当sin（ 求函数极值的若干方法 ） = -1时，求函数极值的若干方法

　　故x = 求函数极值的若干方法

　　当sin 求函数极值的若干方法 时，2 求函数极值的若干方法

　　故x = 求函数极值的若干方法

　　即当x =- 求函数极值的若干方法 时，求函数极值的若干方法

　　当x= 求函数极值的若干方法 时，求函数极值的若干方法

　　此题中抓住了函数的定义域[-1，1]为条件。从而将无理函数转化为三角函数来得以解决函数的极值问题。

　　五、用解析法求极值

　　形如y=求函数极值的若干方法 其中（f（x）、g（x）是关于的二次式，且二次项系数为1）的函极值，直接用纯代数法非常困难，因为要平方两次才能去掉根号。但若借助与解析法，将 求函数极值的若干方法 分别视作平面直角坐标系内两点的距离，利用平面图形性质，便可简捷求解。

　　例8、求函数y= 求函数极值的若干方法 的最小值，其中a、b、c均为正数，

　　解：在直角坐标系内取点C （0，求函数极值的若干方法 ）、D （c，- 求函数极值的若干方法 ）、M （x，0） 、B （c，0）

　　则y = 求函数极值的若干方法 =∣CM∣+∣MD∣

　　即为M到C、D两点的距离之和。

　　由平面图形性质可知当且仅当C、M、D三点共线时距离之和最短，此时M在Mˊ位置上。

　　由 △CO Mˊ∽△DBMˊ 得∣OM∣∶∣MˊB∣=∣OC∣∶∣BD∣

　　即 求函数极值的若干方法 解之得 x=求函数极值的若干方法

　　此时 求函数极值的若干方法 =∣CD∣= 求函数极值的若干方法

　　例9、求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域。

　　分析y= 求函数极值的若干方法 = 求函数极值的若干方法

　　所以 求函数极值的若干方法 可看作平面直角坐标系内的点（x，0）到点求函数极值的若干方法 与点 求函数极值的若干方法 的距离之差。

　　解： 在直角坐标系内取点A（- 求函数极值的若干方法 ，求函数极值的若干方法 ）、点B（ 求函数极值的若干方法 ，求函数极值的若干方法 ）、点M（x，0）

　　则y= 求函数极值的若干方法 =∣AM∣-∣BM∣

　　即为△ABM的两边之差，由平面图形性质知：

　　∣AM∣-∣BM∣＜∣AB∣=∣ 求函数极值的若干方法 ∣=1

　　反之∣BM∣-∣AM∣＜∣AB∣= 1

　　∴∣y∣＜1

　　∴-1＜ y ＜1

　　此法一般适用于为两个二次根式的和、差函数，且根号内为二次函数式，此时可通过配方将其变型为平面直角坐标系内两点之间的距离和与差来计算。这样既省去了平方计算的麻烦，又使式子具有明显的几何意义，从而更方便找出解题方法，将难度较大的问题转化为较简单的问题。在解此轴上的点到另两点的距离和或差，若求和的极值，则当三点共线时有最小值，即为这两点的距离，若为差，则无极值，此时差的绝对值小于这两点的距离，从而可求出函数值域。

　　例10、求函数y= 求函数极值的若干方法 的值域

　　分析：此题既是分式函数，又是三角函数，往往用纯代数法不易达到目的，但如果将其看作是点 （ 求函数极值的若干方法 ）与点（3，2）所在直线的斜率，就不难解决了。

　　解：设xˊ= 求函数极值的若干方法 ，yˊ=求函数极值的若干方法 ，则 y= 求函数极值的若干方法：

　　即为平面直角坐标系内点（ 求函数极值的若干方法 ）与（3，2）所在直线的斜率，又（xˊ，yˊ）在圆 xˊ 求函数极值的若干方法 + yˊ 求函数极值的若干方法 = 1 上，故只要求出点（3，2）与圆上每一点连线的斜率范围即可。

　　设过（3，2）且与圆 xˊ 求函数极值的若干方法 + yˊ 求函数极值的若干方法 = 1 相交的直线方程为：

　　yˊ-2=k （xˊ-3） ，即 kxˊ-yˊ- 3k+2 = 0

　　由点到直线的距离公式知： 求函数极值的若干方法 = 1，

　　即（-3k+2） 求函数极值的若干方法 =1+k 求函数极值的若干方法 ，8k 求函数极值的若干方法 -12k+3 = 0

　　∴k= 求函数极值的若干方法

　　∴当 求函数极值的若干方法 ≤k≤ 求函数极值的若干方法 时，直线与圆相交。

　　即函数y=求函数极值的若干方法 的值域为[ 求函数极值的若干方法 ，求函数极值的若干方法 ]。

　　形如f（x） = 求函数极值的若干方法 函数的值域，可将其看作平面内点（ 求函数极值的若干方法 ，求函数极值的若干方法 ），（-b，-d）的斜率来解决 ，而点（求函数极值的若干方法 ）必在二次曲线 求函数极值的若干方法 = 1上，再利用点（-b，-d）的直线与曲线相交的斜率取值范围来解决是一种简便易行的方法。从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是：求三元函数，多元函数的最大、最小值问题。

　　我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。 如下：

　　a）：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；

　　b）：求出驻点；

　　c）：结合实际意义判定最大、最小值。

　　例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。

　　解答：a）：先建立函数关系，确定定义域

　　求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方最小的问题。但是P点位于所给的平面上，故z=3x+4y-26。把它代入上式便得到我们所需的函数关系：

　　-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞

　　b）：求驻点

　　解得唯一驻点x=3，y=4。由于点P在所给平面上，故可知：

　　z=-1

　　c）：结合实际意义判定最大、最小值在约束条件 3x+4y-z=26 下的最小值 ，一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。

　　由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值。而函数仅有唯一的驻点。所以，平面上与原点距离最短的点为P（3，4，-1）。

　　的若干方法 。