高中数学学习：函数值域的12种解法

高中数学学习：函数值域的12种解法

　　在平凡的学习、工作、生活中，大家都知道函数值域解法吗？以下是小编整理的高中数学学习：函数值域的12种解法，希望能够帮助到大家。

　　一、观察法

　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

　　例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。

　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x) 的值域。

　　解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，

　　故3+√(2-3x)≥3.

　　∴函数的知域为。

　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

　　练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)

　　二、反函数法

　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为：x=(1-2y)/(y-1)，其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y∣y≠1，y∈R｝。

　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

　　练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函数的值域为{y∣y<-1或y>1｝)

　　三、配方法

　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域

　　例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

　　点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

　　解：由-x2+x+2≥0，可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2，函数的值域是[0，3/2]

　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

　　练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域。(答案：值域为{y∣y≤3})

　　四、判别式法

　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。

　　例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

　　解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

　　当y≠2时，由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

　　当y=2时，方程(*)无解。∴函数的值域为2

　　点评：把函数关系化为二次方程F(x，y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。

　　练习：求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域为y≤-8或y>0)。

　　五、值法

　　对于闭区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，可求出y=f(x)在区间[a，b]内的较值，并与边界值f(a).f(b)作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。

　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0，且满足x+y=1，求函数z=xy+3x的值域。

　　点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2)，

　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1，3/2]，函数z在区间[-1，3/2]上连续，故只需比较边界的大小。

　　当x=-1时，z=-5;当x=3/2时，z=15/4.

　　∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4｝。

　　点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间，若存在值，也可通过求出值而获得函数的值域。

　　练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为 ()

　　A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)

　　(答案：D)。

　　六、图象法

　　通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

　　例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

　　点拨：根据值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。

　　解：原函数化为 -2x+1(x≤1)

　　y= 3 (-1

　　2x-1(x>2)

　　它的图象如图所示。

　　显然函数值y≥3，所以，函数值域[3，+∞]。

　　点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象

　　求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。

　　求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。

　　什么是函数值域

　　值域，数学名词，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。

　　在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。

　　定义

　　函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}

　　常见函数值域：

　　y=kx+b （k≠0）的值域为R

　　y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)

　　y=√x的值域为y≥0

　　y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；

　　当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]

　　y=a^x 的值域为 (0,+∞)

　　y=lgx的值域为R[2]

　　常用方法

　　化归法

　　在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。 把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法；

　　解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。　换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。　它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。。 例如在分解(x+x+1)(x+x+2)-12时，可以令y=x+x,则　原式=(y+1)(y+2)-12　=y+3y+2-12=y+3y-10　=(y+5)(y-2)　=(x+x+5)(x+x-2)　=(x+x+5)(x+2)(x-1)．　例2，(x+5)+(y-4)=8　(x+5)-(y-4)=4　令x+5=m,y-4=n　原方程可写为　m+n=8　m-n=4　解得m=6,n=2　所以x+5=6,y-4=2　所以x=1,y=6 注意：换元后勿忘还原；

　　利用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域；

　　图像法

　　根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。

　　配方法

　　利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。

　　单调性法

　　利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。

　　反函数法

　　若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。

　　换元法

　　包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围[2]。

　　判别式法

　　判别式法即利用二次函数的判别式求值域。

　　复合函数法

　　设复合函数为f[g(x)，]g(x) 为内层函数, 为了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然后把g(x) 看成一个整体，相当于f(x)的自变量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据 f(x)函数的性质求出其值域；

　　三角代换法

　　利用基本的三角关系式，进行简化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求证：ac+bd小于或等于1. 直接计算麻烦 用三角代换法比较简单：做法：设a=sin x ,b=cos x ,c=sin y , d=cos y,则 ac+bd= sin x*sin y + cos x * cos y =cos (y-x),因为我们知道cos (y-x)小于等于1，所以不等式成立。；

　　不等式法

　　基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。

　　分离常数法

　　把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子

　　关于误区

　　定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数的定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。

　　范围

　　“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念.许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。