高中数学七大基本知识点

高中数学七大基本知识点

　　第一：函数与导数

　　1) 三阶段：1)学习函数概念、图象、性质。以指对函数为例，重点学习函数与反函数及单调性

　　2)以三角函数为例，重点学习奇偶性与周期性

　　3)学习函数极限、连续性、导数。最终落在导数应用

　　注：(文科)解析式选用多项式函数。(理科)指、对、三角函数为载体

　　选择、填空多考查图象、反函数、奇偶性、极限、连续性、导数的几何意义

　　第二：数列：在高考中占重要地位

　　1)重点研究等差数列、等比数列，主要是通项公式及前n项和公式

　　2)通过比较抽象数列入手，进行严格的逻辑推证

　　3)通项与前n项和的重要关系

　　注：选择、填空多突出函数与方程思想、数形结合、特殊与一般、有限与无限的考查。

　　第三：不等式：

　　1)学习不等式性质、简单不等式解法、不等式证明、不等式应用

　　2)删去无理不等式、保留二次不等式、分式不等式、含绝对值简单不等式、简单指对不等式，均值定理只考虑两个正数。

　　注：选择、填空多考查解不等式的同解变形、数形结合、特殊化思想、均值定理，解答题多考查解不等式、不等式证明、含参数不等式、与函数导数数列相结合(知识网络交汇)

　　第四：三角函数：同角公式由8个删为3个，删去余切诱导公式，删去半角公式、积化和差公式，删去反三角函数与简单三角方程绝大部分内容，只保留反正弦、反余弦、反正切意义与符号表示。

　　新增内容：平面向量、极限与导数作了替代

　　突出考查三角函数图象与性质

　　数轴标根法、穿针引线法

　　“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”

　　准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。

　　是高次不等式的简单解法

　　当高次不等式f(x)>0(或<0)的左边整式、分式不等式φ(x)>0(或<0)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积(x-a1)(x-a2)…(x-an)的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f(x)、 φ(x)/h(x)的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。

　　为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1(图片自上而下依次为图一，二，三，四)

　　做题步骤：

　　第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。(注意：一定要保证x前的系数为正数)

　　例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0

　　第二步：将不等号换成等号解出所有根。

　　例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1

　　第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。

　　例如：-1 1 2

　　第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。

　　第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围;如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。

　　例如：

　　若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

　　在数轴上标根得：-1 1 2

　　画穿根线：由右上方开始穿根。

　　因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。

　　奇过偶不过就是当不等式中含有有单独的'x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：(X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如(X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。(如图三，为(X-1)^2)

　　注意事项

　　运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：

　　1. 出现形如(a-x)的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。

　　例1 解不等式x(3-x)(x+1)(x-2)>0。

　　解 x(3-x)(x+1)(x-2)>0，将各根-1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{xx<-1或03}。

　　事实上，只有将因式(a-x)变为(x-a)的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：

　　解 原不等式变形为x(x-3)(x+1)(x-2)<0，将各根-1、0、2、3依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为{x-1

　　2. 出现重根时，机械地“穿针引线”

　　例2 解不等式(x+1)(x-1)^2(x-4)^3<0

　　解 将三个根-1、1、4标在数轴上，由图2得，

　　原不等式的解集为{xx<-1或1

　　这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴，正确的解法如下：

　　解 将三个根-1、1、4标在数轴上，如图3画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回;遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集

　　{x-1

　　3. 出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”

　　例3 解不等式x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0

　　解 原不等式变形为x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。

　　解 原不等式等价于

　　x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0，

　　∵ x^2+x+1>0对一切x恒成立，

　　∴ x(x-1)(x+1)(x-2)>0，由图4可得原不等式的解集为{xx<-1或02}