高中数学平面向量知识点总结概括

高中数学有关平面向量知识点总结概括

　　在日常过程学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。哪些才是我们真正需要的知识点呢？以下是小编整理的高中数学有关平面向量知识点总结概括，仅供参考，希望能够帮助到大家。

　　高中数学平面向量知识点总结概括 1

　　一、定比分点

　　定比分点公式（向量P1P=λ向量PP2）

　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

　　若P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则有OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分点向量公式）

　　x=（x1+λx2）/（1+λ），y=（y1+λy2）/（1+λ）。（定比分点坐标公式）

　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式。

　　二、三点共线定理

　　若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。

　　三、三角形重心判断式

　　在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心。

　　四、向量共线的重要条件

　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

　　a//b的重要条件是xy—xy=0。

　　零向量0平行于任何向量。

　　五、向量垂直的充要条件

　　a⊥b的充要条件是ab=0。

　　a⊥b的充要条件是xx+yy=0。

　　零向量0垂直于任何向量。

　　设a=（x，y），b=（x，y）。

　　六、向量的运算

　　1、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

　　AB+BC=AC。

　　a+b=（x+x，y+y）。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的运算律：

　　交换律：a+b=b+a；

　　结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

　　2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。0的反向量为0

　　AB—AC=CB。即“共同起点，指向被减”

　　a=（x，y） b=（x，y） 则a—b=（x—x，y—y）。

　　4、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

　　当λ＞0时，λa与a同方向；

　　当λ＜0时，λa与a反方向；

　　当λ=0时，λa=0，方向任意。

　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

　　当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

　　当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

　　5、数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：（λa）b=λ（ab）=（aλb）。

　　向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa。

　　数对于向量的`分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb。

　　数乘向量的消去律：

　　①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

　　②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　6、向量的的数量积

　　定义：已知两个非零向量a，b。作OA=a，OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉并规定0≤〈a，b〉≤π

　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+—∣a∣∣b∣。

　　向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy。

　　7、向量的数量积的运算律

　　ab=ba（交换律）；

　　（λa）b=λ（ab）（关于数乘法的结合律）；

　　（a+b）c=ac+bc（分配律）；

　　向量的数量积的性质

　　aa=|a|的平方。

　　a⊥b〈=〉ab=0。

　　|ab|≤|a||b|。

　　8、向量的数量积与实数运算的主要不同点

　　8.1向量的数量积不满足结合律，即：（ab）c≠a（bc）；例如：（ab）^2≠a^2b^2。

　　8.2向量的数量积不满足消去律，即：由ab=ac（a≠0），推不出b=c。

　　8.3|ab|≠|a||b|

　　8.4由a|=|b|，推不出a=b或a=—b。

　　七、向量的向量积

　　1、定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

　　2、向量的向量积性质：

　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

　　a×a=0。

　　a‖b〈=〉a×b=0。

　　3、向量的向量积运算律

　　a×b=—b×a；

　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

　　（a+b）×c=a×c+b×c。

　　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

　　4、向量的三角形不等式

　　1、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

　　①当且仅当a、b反向时，左边取等号；

　　②当且仅当a、b同向时，右边取等号。

　　2、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a—b∣≤∣a∣+∣b∣。

　　①当且仅当a、b同向时，左边取等号；

　　②当且仅当a、b反向时，右边取等号。

　　高中数学平面向量知识点总结概括 2

　　高中数学知识点之向量

　　1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

　　2.规定若线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。

　　3.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。

　　注：向量的模是非负实数，是可以比较大小的。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

　　4.单位向量：长度为一个单位(即模为1)的`向量，叫做单位向量.与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0。

　　5.长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。

　　高中数学知识点之向量的计算

　　1.加法

　　交换律：a+b=b+a;

　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　2.减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

　　加减变换律：a+(-b)=a-b

　　3.数量积

　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π

　　向量的数量积的运算律

　　a·b=b·a(交换律)

　　(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

　　(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)

　　向量的数量积的性质

　　a·a=|a|的平方。

　　a⊥b〈=〉a·b=0。

　　|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|)

　　高中数学平面向量知识点总结概括 3

　　平面向量是指在二维平面上的一种数学对象，是既有大小又有方向的量。它的加法和减法运算使用一定的法则，其中向量的数量积可以用坐标表示，这是平面向量的基础知识。平面向量的公式和运算主要包括：

　　1. 向量的基本概念和表示：平面向量是二维平面上的有向线段，表示向量需要使用有向线段。

　　2. 向量的线性运算：平面向量可以进行加、减、数乘等线性运算，运算的法则是满足线性运算的基本规则。

　　3. 向量的数量积和向量积：向量的.数量积表示向量与其自身的夹角大小，向量积表示两个向量之间的角旋转角度，这两者都是可以用坐标来表示的。

　　4. 向量的坐标表示和运算：平面向量可以用一组有序实数对来表示，也就是其坐标。可以通过向量的坐标进行向量的线性运算、数量积、向量积等运算，而且这些公式也可以用于计算向量的长度、角度、点积等。

　　5. 平面向量的应用：在平面几何、解析几何等领域，平面向量都是一种重要的工具，常用于解决平面几何问题和计算几何图形的面积、体积等问题。

　　平面向量是高中数学中的重要工具，掌握基本运算和转化技巧是解题的关键。对于高中生来说，理解和掌握平面向量的基本知识和公式，以及其在数学中实际应用的方法和技巧，能够更好地学习数学。