高中数学平面向量的最值与范围问题

高中数学平面向量的最值与范围问题

　　普通高中课程标准实验教科书(人教A版)《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。以下是小编带来的高中数学平面向量的最值与范围问题，欢迎阅读。

　　平面向量中，有关最值问题的求解通常有两种思路：

　　一种是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断;

　　二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决。

　　高中数学有关平面向量的公式

　　定比分点

　　定比分点公式（向量P1P=λ向量PP2）

　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

　　若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

　　OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

　　x=(x1+λx2)/(1+λ),

　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

　　三点共线定理

　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

　　三角形重心判断式

　　在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

　　[编辑本段]向量共线的重要条件

　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

　　a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

　　零向量0平行于任何向量。

　　[编辑本段]向量垂直的充要条件

　　a⊥b的充要条件是 ab=0。

　　a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。

　　零向量0垂直于任何向量.

　　设a=（x，y），b=(x'，y')。

　　1、向量的加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

　　AB+BC=AC。

　　a+b=(x+x'，y+y')。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的运算律：

　　交换律：a+b=b+a；

　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　2、向量的减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

　　AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

　　a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

　　4、数乘向量

　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

　　当λ＞0时，λa与a同方向；

　　当λ＜0时，λa与a反方向；

　　当λ=0时，λa=0，方向任意。

　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

　　当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

　　当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

　　数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　3、向量的的数量积

　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。

　　向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。

　　向量的数量积的运算律

　　ab=ba（交换律）；

　　(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)；

　　（a+b)c=ac+bc（分配律）；

　　向量的.数量积的性质

　　aa=|a|的平方。

　　a⊥b 〈=〉ab=0。

　　|ab|≤|a||b|。

　　向量的数量积与实数运算的主要不同点

　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)c≠a(bc)；例如：(ab)^2≠a^2b^2。

　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。

　　3、|ab|≠|a||b|

　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

　　4、向量的向量积

　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

　　向量的向量积性质：

　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

　　a×a=0。

　　a‖b〈=〉a×b=0。

　　向量的向量积运算律

　　a×b=-b×a；

　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

　　（a+b）×c=a×c+b×c.

　　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

　　5、向量的三角形不等式

　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

　　① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；

　　② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

　　① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；

　　② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。