高中数学排列组合解题技巧

高中数学排列组合解题技巧

　　导语：排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点，其思考方法独特，求解思路灵活，因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误。虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考查上，但当对问题类型把握准确时，解答的准确性上将会有很大的提升，解答速度也会大大提高，以下是小编为大家精心整理的高中数学排列组合解题技巧，欢迎大家参考！

　　一、在具体的教学过程中一定要引导学生注意以下几点

　　1. 使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

　　2. 处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

　　3. 在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。

　　二、具体的操作方法

　　（一）相邻捆绑、不邻插空法

　　对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

　　例16名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种。

　　A、720B、360C、240D、120

　　解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列，由乘法原理可知，共有240种不同排法，故选（C）。

　　【解析】从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是对元素进行整体处理的形象化表述，体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题，只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体，视作一个“大”元素，再考虑相邻元素内部的排列或组合，就能保证这些元素相邻而不散乱。

　　（二）插板法

　　一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱（一般只要求不等于零），只对分成的份数有要求。

　　例2 把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法？

　　A.190 B.171 C.153 D.19

　　【答案】B。【解析】此题的想法即是插板思想：在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板，这样即把其分成18份，那么共有： C（19，17）=C（19，2）=171 种。

　　（三）特殊位置和特殊元素优先法

　　对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。

　　例3 从6名运动员中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种？

　　A.120 B.240 C.180 D.60

　　【答案】B。【解析】方法一：特殊位置优先法：首先填充第一棒，第一棒共有5个元素可供选择，其次第4棒则有4个元素可以选择；然后第2棒则有4个元素可以选择，第3棒则有3个元素可以选择。则共有5×4×4×3=240种。

　　方法二：特殊元素优先法：首先考虑甲元素的位置

　　第一类，甲不参赛有A（5，4）=120种排法；

　　第二类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有2种排法；其余5人占3个位置有A（5，3）=60种占法，故有2×60=120种方案。

　　所以有120+120=240种参赛方案。

　　（四）分类法

　　解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

　　例4 三边长均为整数，且最大边长为11的三角形有多少个？

　　解：设三角形的另外两个边分别为x和y，要构成三角形，则分类讨论如下：

　　当y为11时，x可以为：1，2，3，…，11，可有11个三角形；

　　当y为10时，x可以为：2，3，4，…，10，可有9个三角形；

　　当y为9时，x可以为：3，4，5，…，9，可有7个三角形；

　　当y为8时，x可以为：4，5，6，7，8，可有5个三角形；

　　当y为7时，x可以为：5，6，7，可有3个三角形；

　　当y为6时，x可以为：6，只有1个三角形；

　　所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36个。

　　总之，课堂教学中教师应该发挥学生的主体意识和主观能动性，让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。