高中数学幂函数的性质总结

高中数学幂函数的性质总结

　　一般地.形如y=x、α(α为有理数)的函数，即以、底数为、自变量，幂为、因变量，、指数为常数的函数称为、幂函数。下面是小编分享的高中数学幂函数的性质总结，一起来看一下吧。

　　高中数学幂函数的性质总结

　　1、函数性质

　　幂函数的、图象一定会出现在、第一象限内，一定不会出现在、第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的、奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与、坐标轴相交，则交点一定是、原点.

　　正值性质

　　当α>0时，幂函数y=x、α有下列性质：

　　a、图像都经过点(1,1)(0,0);

　　b、函数的图像在区间[0,+∞)上是、增函数;

　　c、在第一象限内，α>1时，、导数值逐渐增大;α=1时，导数为、常数;0<>

　　负值性质

　　当α<0时，幂函数y=x、α有下列性质：

　　a、图像都通过点(1,1);

　　b、图像在区间(0，+∞)上是、减函数;(内容补充：若为X、-2，易得到其为、偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间(-∞，0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)

　　c、在、第一象限内，有两条渐近线(即坐标轴)，、自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

　　零值性质

　　当α=0时，幂函数y=x、a有下列性质：

　　a、y=x、0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。

　　2、函数特性

　　对于α的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　α为约分数

　　如果α=p/q，且p/q为、既约分数(即p，q、互质)，q和p都是、整数，则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)。如果q是、奇数，函数的、定义域是R;如果q是、偶数，函数的、定义域是[0,+∞)。

　　α为负整数

　　当指数α是、负整数时，设α=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在、偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　α小于0时，x不等于0;

　　α的分母为偶数时，x不小于0;

　　α的分母为奇数时，x取R。

　　3、函数判定

　　幂函数的一般形式是y=x，其中，n可为任何实数，但中学阶段仅研究n为有理数的情形，这时可表示为y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互质。特别，当k=1时为整数指数幂。

　　(1)当m，k都为正奇数时，如y=x，y=x，y=x^(3/5)等，定义域、值域均为R，为奇函数;

　　(2)当m为负奇数，k为正奇数时，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x，y=x^(-3/5)等，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数;

　　(3)当m为正奇数，k为正偶数时，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定义域、值域均为[0，+∞)，为非奇非偶函数;

　　(4)当m为负奇数，k为正偶数时，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定义域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数;

　　(5)当m为正偶数，k为正奇数时，如y=x，y=x^(2/3)等，定义域为R、值域为[0，+∞)，为偶函数;

　　(6)当m为负偶数，k为正奇数时，如y=x^(-2)=1/x，y=x^(-2/3)等，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(0，+∞)，为偶函数。、[1]

　　4、讨论分析

　　由于x大于0是对α的、任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各、象限的各自情况。可以看到：

　　(1)所有的图像都通过(1，1)这点.(α≠0)、α>0时、图象过点(、0，0)和(1，1)。

　　(2)、单调区间：

　　当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增;

　　②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增;

　　③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);

　　④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

　　当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

　　①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增;

　　②当α>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增;

　　③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减;

　　④当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);

　　(3)当α>1时，幂函数图形下凹(竖抛);

　　当0<>

　　当α<0时，图像为双曲线。

　　(4)在(0,1)上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴;在(1，﹢∞)上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。

　　(5)当α<0时，α越小，图形倾斜程度越大。

　　(6)显然幂函数无界限。

　　(7)α=2n(n为整数),该函数为偶函数、{x|x≠0}。

　　反函数和幂函数的知识点

　　1 幂函数解析式的右端是个幂的形式。幂的底数是自变量，指数是常数，可以为任何实数；与指数函数的形式正好相反。

　　2 幂函数的图像和性质比较复杂，高考只要求掌握指数为1、2、3、-1、时幂函数的图像和性质。

　　3 了解其它幂函数的图像和性质，主要有：

　　①当自变量为正数时，幂函数的图像都在第一象限。指数为负数的幂函数都是过点(1，1)的减函数，以坐标轴为渐近线，指数越小越靠近

　　x轴。指数为正数的幂函数都是过原点和(1，1)的增函数；在 x=1的右侧指数越大越远离 x 轴。

　　②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出：要么是x≥0，要么是关于原点对称。前者只在第一象限有图像；后者一定具有奇偶性，利用对称性可以画出二或三象限的图像。注意第四象限绝对不会有图像。

　　③定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数；否则是奇函数。

　　4 幂函数奇偶性的一般规律：

　　⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。

　　⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。

　　⑶指数是分母为偶数的分数时，定义域 x>0或 x≥0，没有奇偶性。

　　⑷指数是分子为偶数的分数时，幂函数是偶函数。

　　⑸指数是分子分母为奇数的分数时，幂函数是奇数函数。