高中数学幂函数的性质总结 一般地.形如y=x、(为有理数)的函数,即以、底数为、自变量,幂为、因变量,、指数为常数的函数称为、幂函数。下面是小编分享的高中数学幂函数的性质总结,一起来看一下吧。 高中数学幂函数的性质总结 1、函数性质 幂函数的、图象一定会……
高中数学幂函数的性质总结
一般地.形如y=x、α(α为有理数)的函数,即以、底数为、自变量,幂为、因变量,、指数为常数的函数称为、幂函数。下面是小编分享的高中数学幂函数的性质总结,一起来看一下吧。
高中数学幂函数的性质总结
1、函数性质
幂函数的、图象一定会出现在、第一象限内,一定不会出现在、第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的、奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与、坐标轴相交,则交点一定是、原点.
正值性质
当α>0时,幂函数y=x、α有下列性质:
a、图像都经过点(1,1)(0,0);
b、函数的图像在区间[0,+∞)上是、增函数;
c、在第一象限内,α>1时,、导数值逐渐增大;α=1时,导数为、常数;0<>
负值性质
当α<0时,幂函数y=x、α有下列性质:
a、图像都通过点(1,1);
b、图像在区间(0,+∞)上是、减函数;(内容补充:若为X、-2,易得到其为、偶函数。利用对称性,对称轴是y轴,可得其图像在区间(-∞,0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)
c、在、第一象限内,有两条渐近线(即坐标轴),、自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。
零值性质
当α=0时,幂函数y=x、a有下列性质:
a、y=x、0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。
2、函数特性
对于α的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:
α为约分数
如果α=p/q,且p/q为、既约分数(即p,q、互质),q和p都是、整数,则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)。如果q是、奇数,函数的、定义域是R;如果q是、偶数,函数的、定义域是[0,+∞)。
α为负整数
当指数α是、负整数时,设α=-k,则y=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在、偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
α小于0时,x不等于0;
α的分母为偶数时,x不小于0;
α的分母为奇数时,x取R。
3、函数判定
幂函数的一般形式是y=x,其中,n可为任何实数,但中学阶段仅研究n为有理数的情形,这时可表示为y=x^(m/k),其中m∈Z,k∈N*,且m,k互质。特别,当k=1时为整数指数幂。
(1)当m,k都为正奇数时,如y=x,y=x,y=x^(3/5)等,定义域、值域均为R,为奇函数;
(2)当m为负奇数,k为正奇数时,如y=x^(-1)=1/x,y=x^(-3)=1/x,y=x^(-3/5)等,定义域、值域均为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),为奇函数;
(3)当m为正奇数,k为正偶数时,如y=x^(1/2),y=x^(3/4)等,定义域、值域均为[0,+∞),为非奇非偶函数;
(4)当m为负奇数,k为正偶数时,如y=x^(-1/2),y=x^(-3/4)等,定义域、值域均为(0,+∞),为非奇非偶函数;
(5)当m为正偶数,k为正奇数时,如y=x,y=x^(2/3)等,定义域为R、值域为[0,+∞),为偶函数;
(6)当m为负偶数,k为正奇数时,如y=x^(-2)=1/x,y=x^(-2/3)等,定义域为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(0,+∞),为偶函数。、[1]
4、讨论分析
由于x大于0是对α的、任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在各、象限的各自情况。可以看到:
(1)所有的图像都通过(1,1)这点.(α≠0)、α>0时、图象过点(、0,0)和(1,1)。
(2)、单调区间:
当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:
①当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增;
②当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增;
③当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);
④当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。
当α为分数时,α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性:
①当α>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增;
②当α>0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递增;
③当α<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减;
④当α<0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);
(3)当α>1时,幂函数图形下凹(竖抛);
当0<>
当α<0时,图像为双曲线。
(4)在(0,1)上,幂函数中α越大,函数图像越靠近x轴;在(1,﹢∞)上幂函数中α越大,函数图像越远离x轴。
(5)当α<0时,α越小,图形倾斜程度越大。
(6)显然幂函数无界限。
(7)α=2n(n为整数),该函数为偶函数、{x|x≠0}。
反函数和幂函数的知识点
1 幂函数解析式的右端是个幂的形式。幂的底数是自变量,指数是常数,可以为任何实数;与指数函数的形式正好相反。
2 幂函数的图像和性质比较复杂,高考只要求掌握指数为1、2、3、-1、时幂函数的图像和性质。
3 了解其它幂函数的图像和性质,主要有:
①当自变量为正数时,幂函数的图像都在第一象限。指数为负数的幂函数都是过点(1,1)的减函数,以坐标轴为渐近线,指数越小越靠近
x轴。指数为正数的幂函数都是过原点和(1,1)的增函数;在 x=1的右侧指数越大越远离 x 轴。
②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出:要么是x≥0,要么是关于原点对称。前者只在第一象限有图像;后者一定具有奇偶性,利用对称性可以画出二或三象限的图像。注意第四象限绝对不会有图像。
③定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数;否则是奇函数。
4 幂函数奇偶性的一般规律:
⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。
⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。
⑶指数是分母为偶数的分数时,定义域 x>0或 x≥0,没有奇偶性。
⑷指数是分子为偶数的分数时,幂函数是偶函数。
⑸指数是分子分母为奇数的分数时,幂函数是奇数函数。