高中数学竞赛题解题方法

高中数学竞赛题解题方法

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　　配方法

　　配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

　　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；

　　b3a2＋ab＋b2＝(a＋)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋)2＋（b）2； 22

　　1a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] 2

　　2222a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝?

　　结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

　　1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；

　　111x2＋2＝(x＋)2－2＝(x－)2＋2 ；?? 等等。 xxx

　　Ⅰ、再现性题组：

　　1. 在正项等比数列{an}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。

　　2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A.<k<1 B. k<或k>1 C. k∈R D. k＝或k＝1

　　3. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

　　A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0

　　4. 函数y＝log1 (－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

　　A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3)

　　5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。

　　【简解】 1小题：利用等比数列性质am?pam?p＝am2，将已知等式左边后配方（a3＋a5）2易求。答案是：5。

　　2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r2>0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。

　　4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。

　　5小题：答案3－。

　　Ⅱ、示范性题组：

　　例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 2 B. C. 5 D. 6

　　【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则?2(xy?yz?xz)?11 ,而欲求对角线长x2?y2?z2，将其配凑成两已知式的组合?4(x?y?z)?24?

　　形式可得。

　　【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12

　　?2(xy?yz?xz)?11条棱的长度之和为24”而得：?。 ?4(x?y?z)?24

　　长方体所求对角线长为：x2?y2?z2＝(x?y?z)2?2(xy?yz?xz)＝62?11＝5

　　所以选B。

　　【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。

　　例2. 设方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(p2q2)+()≤7成立，求实qp

　　数k的取值范围。

　　【解】方程x2＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , p2q2[(p?q)2?2pq]2?2p2q2(p2?q2)2?2p2q2p4?q4

　　()+()＝＝＝＝qp(pq)2(pq)2(pq)2

　　(k2?4)2?8≤7， 解得k≤－或k≥ 。 4

　　又 ∵p、q为方程x2＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22

　　综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－22 或者 22≤k≤。

　　【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

　　ba例3. 设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0，求()1998＋()1998 。 a?ba?b

　　aaa【分析】 对已知式可以联想：变形为()2＋()＋1＝0，则＝ω （ω为bbb

　　1的立方虚根）；或配方为(a＋b)2＝ab 。则代入所求式即得。

　　aa【解】由a2＋ab＋b2=0变形得：()2＋()＋1＝0 ， bb

　　a1b设ω＝，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω3＝ba?3＝1。

　　又由a2＋ab＋b2=0变形得：(a＋b)2＝ab ，

　　baaba2

　　999b2

　　99919981998所以 ()＋()＝()＋()＝()999＋()999＝ωa?bbaa?babab

　　999＋999＝2 。

　　【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。