高中集合知识点总结

高中集合知识点总结

　　人们的直观的或中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。以下内容是小编为您精心整理的高中集合知识点总结，欢迎参考！

　　一．知识归纳：

　　1．集合的有关概念。

　　1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素

　　注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

　　②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

　　③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件

　　2）集合的.表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

　　3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

　　4）常用数集：N，Z，Q，R，N*

　　2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

　　1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；

　　2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）

　　3）交集：A∩B={x x∈A且x∈B}

　　4）并集：A∪B={x x∈A或x∈B}

　　5）补集：CUA={x x A但x∈U}

　　注意：①? A，若A≠?，则? A ；

　　②若 ， ，则 ；

　　③若 且 ，则A=B（等集）

　　3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。

　　4．有关子集的几个等价关系

　　①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；

　　④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

　　5．交、并集运算的性质

　　①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；

　　③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；

　　6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

　　二．例题讲解：

　　【例1】已知集合M={xx=+ ,∈Z},N={xx= ,n∈Z},P={xx= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系

　　A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M

　　分析一：从判断元素的共性与区别入手。

　　解答一：对于集合M：{xx= ,∈Z}；对于集合N：{xx= ,n∈Z}

　　对于集合P：{xx= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。

　　分析二：简单列举集合中的元素。

　　解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

　　= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

　　= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以选B。

　　点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　变式：设集合 ， ，则（ B ）

　　A．M=N B．M N C．N M D．

　　解：

　　当 时，2+1是奇数，+2是整数，选B

　　【例2】定义集合A*B={xx∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为

　　A）1 B）2 C）3 D）4

　　分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

　　解答：∵A*B={xx∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。

　　变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为

　　A）5个 B）6个 C）7个 D）8个

　　变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .

　　【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

　　解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴B={xx2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

　　∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

　　∴ ∴

　　变式：已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+x+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,的值.

　　解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+?2+6=0,=-5

　　∴B={xx2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

　　又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,=-5

　　【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={xx>-2}，且A∩B={x1<>< p="">

　　分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

　　解答：A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>

　　<><-1或x>

　　综合以上各式有B={x-1≤x≤5}

　　变式1：若A={xx3+2x2-8x>0}，B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx>-4}，A∩B=,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

　　点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

　　变式2：设M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。

　　解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

　　①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②

　　分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。

　　解答：（1）若 ， 在 内有有解

　　令 当 时，

　　所以a>-4,所以a的取值范围是

　　变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

　　解答：

　　点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

　　三.随堂演练

　　选择题

　　1． 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

　　⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数

　　（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

　　2．集合{1，2，3}的真子集共有

　　（A）5个 （B）6个 （C）7个 （D）8个

　　3．集合A={x } B={ } C={ }又 则有

　　（A）（a+b） A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一个

　　4．设A、B是全集U的两个子集，且A B，则下列式子成立的是

　　（A）CUA CUB （B）CUA CUB=U

　　（C）A CUB= （D）CUA B=

　　5．已知集合A={ }， B={ }则A =

　　（A）R （B）{ }

　　（C）{ } （D）{ }

　　6．下列语句：（1）0与{0}表示同一个集合； （2）由1，2，3组成的集合可表示为

　　{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正确的是

　　（A）只有（1）和（4） （B）只有（2）和（3）

　　（C）只有（2） （D）以上语句都不对

　　7．设S、T是两个非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X=

　　（A）X （B）T （C） （D）S

　　8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ，则不等式ax2+bx+c 0的解集为

　　（A）R （B） （C）{ } （D）{ }

　　填空题

　　9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为

　　10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，则x=

　　11.若A={x } B={x },全集U=R，则A =

　　12.若方程8x2+(+1)x+-7=0有两个负根，则的取值范围是

　　13设集合A={ },B={x },且A B，则实数的取值范围是。

　　14.设全集U={x 为小于20的非负奇数}，若A （CUB）={3，7，15}，（CUA） B={13，17，19}，又（CUA） （CUB）= ，则A B=

　　解答题

　　15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3}，求实数a。

　　16(12分)设A= ， B= ，

　　其中x R,如果A B=B，求实数a的取值范围。

　　四.习题答案

　　选择题

　　1 2 3 4 5 6 7 8

　　C C B C B C D D

　　解答题

　　15.a=-1

　　16.提示：A={0，-4}，又A B=B，所以B A

　　（Ⅰ）B= 时， 4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1

　　(Ⅱ)B={0}或B={-4}时， 0 得a=-1

　　（Ⅲ）B={0，-4}， 解得a=1

　　综上所述实数a=1 或a -1