高一数学立体几何课件

高一数学立体几何课件

　　高一数学立体几何课件

　　第一章 直线和平面 两个平面平行的性质教案

　　教学目标

　　1．使学生掌握两个平面平行的性质定理及应用；

　　2．引导学生自己探索与研究两个平面平行的性质定理，培养和发展学生发现问题解决问题的能力．

　　教学重点和难点

　　重点：两个平面平行的性质定理；

　　难点：两个平面平行的性质定理的证明及应用．

　　教学过程

　　一、复习提问

　　教师简述上节课研究的主要内容（即两个平面的位置关系，平面与平面平行的定义及两个平面平行的判定定理），并让学生回答：

　　（1）两个平面平行的意义是什么？

　　（2）平面与平面的判定定理是怎样的？并用命题的形式写出来？

　　（教师板书平面与平面平行的定义及用命题形式书写平面与平面平行的判定定理）

　　目的：

　　（1）通过学生回答，来检查学生能否正确叙述学过的知识，正确理解平面与平面平行的判定定理．

　　（2）板书定义及定理内容，是为学生猜测并发现平面与平面平行的性质定理作准备）

　　二、引出命题

　　（教师在对上述问题讲评之后，点出本节课主题并板书，平面与平面平行的性质）

　　师：从课题中，可以看出，我们这节课研究的主要对象是什么？

　　生：两个平面平行能推导出哪些正确的结论．

　　师：下面我们猜测一下，已知两平面平行，能得出些什么结论．

　　（学生议论）

　　师：猜测是发现数学问题常用的方法．“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现．”但猜想不是盲目的`，有一些常用的方法，比如可以对已有的命题增加条件，或是交换已有命题的条件和结

　　论．也可通过类比法即通过两个对象类似之处的比较而由已经获得的知识去引出新的猜想等来得到新的命题．

　　（不仅要引导学生猜想，同时又给学生具体的猜想方法）

　　师：前面，复习了平面与平面平行的判定定理，判定定理的结论是两平面平行，这对我们猜想有何启发？

　　生：由平面与平面平行的定义，我猜想：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个面．

　　师：很好，把它写成命题形式．

　　（教师板书并作图，同时指出，先作猜想、再一起证明）

　　猜想一：

　　已知：平面α∥β，直线a

　　求证：a∥β．

　　生：由判定定理“垂直于同一条直线的两个平面平行”．我猜想：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．

　　[教师板书] α，

　　猜想二：

　　已知：平面α∥β，直线l⊥α．

　　求证：l⊥β．

　　师：这一猜想的已知条件不仅是“α∥β”，还加上了“直线l⊥α”．下面请同学们看课本上关于判定定理“垂直于同一直线的两平面平行”的证明．在证明过程中，“平面γ∩α=a，平面γ∩β=a′”．a与a′是什么关系？

　　生：a∥a′．

　　师：若改为γ不是过AA′的平面，而是任意一个与α，β都相交的平面γ．同学们考虑一下是否可以得到一个猜想呢？

　　（学生讨论）

　　生：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，也必与另一个平面相交．”

　　[教师板书]

　　猜想三：

　　已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，求证：γ与β一定相交．

　　师：怎么作这样的猜想呢？

　　生：我想起平面几何中的一个结论：“一条直线与两条平行线中的一条相交，也必与另一条相交．”

　　师：很好，这里实质用的是类比法来猜想．就是把原来的直线类似看作平面．两平行直线类似看作两个平行平面，从而得出这一猜想．大家再考虑，猜想三中，一个平面与两个平行平面相交，得到的交线有什么位置关系？

　　生：平行

　　师：请同学们表达出这个命题．

　　生：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

　　[教师板书]

　　猜想四：

　　已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b．

　　求证：a∥b．

　　[通过复习定理的证明方法，既发现了猜想三，猜想四，同时又复习了定理的证明方法，也为猜想四的证明，作了铺垫]

　　师：在得到猜想三时，我们用到了类比法，实际上，在立体几何的研究中，将所要解决的问题与平面几何中的有关问题作类比，常常能给我们以启示，发现立体几何中的新问题．比如：在平面几何中，我们有这样一条定理：“夹在两条平行线间的平行线段相等”，请同学们用类比的方法，看能否得出一个立体几何中的猜想？

　　生：把两条平行线看作两个平行平面，可得猜想：夹在两个平行平面间的平行线段相等．

　　[教师板书]

　　猜想五：

　　已知：平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β．

　　求证：AA′=BB′．

　　[该命题，在教材中是一道练习题，但也是平面与平面平行的性质定理，为了完整体现平面与平面平行的性质定理，故尔把它放在课堂上进行分析]

　　三、证明猜想

　　师：通过分析，我们得到了五个猜想，猜想的结论往往并不完全可靠．得到猜想，并不意谓着我们已经得到了两个平面平行的性质定理，下面主要来论证我们得到的猜想是否正确．

　　[师生相互交流，共同完成猜想的论证]

　　师：猜想一是由平面与平面平行的定义得到的，因此在证明过程中要注意应用定义．

　　[猜想一证明]

　　证明：因为α∥β，

　　所以α与β无公共点．

　　又  因为a α，

　　所以  a与β无公共点．

　　故  a∥β．

　　师：利用平面与平面平行的定义及线面平行的定义，论证了猜想一的正确性．这便是平面与平面平行的性质定理一．简言之，“面面平行，则线面平行．”

　　[教师擦掉“猜想一”，板书“性质定理一”]

　　[论证完猜想一之后，教师与学生共同研究了“猜想二”，发现，若论证了“猜想四”的正确性质，“猜想二”就容易证了，因而首先讨论“猜想三，猜想四”]

　　师：“猜想三”是类比平面几何中的结论得到的，还记得初中时，是怎么证明的？

　　[学生回答：反证法]

　　师：那么，大家可否类比初中的证明方法来证明“猜想三”呢？

　　生：用反证法：假设γ与β不相交，则γ∥β．这样过直线a有两个平面α和γ与β平行．与“过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”矛盾．故γ与β相交．

　　师：很好．由此可知：不只是发现问题时可用类比法，就是证明方法也可用类比方法．不过猜想三，虽已证明为正确的命题，但教材中并把它作为平面与平面平行的性质定理，大家在今后应用中要注意．

　　[猜想四的证明]

　　师：猜想四要证明的是直线a∥b，显然a，b共面于平面γ，只需推导出a与b无公共点即可． 生：（证法一）

　　因为  a∥β，

　　所以  a与β无公共点．