高三最容易出错的函数与导数易错考点

关于2016高三最容易出错的函数与导数易错考点

　　导语：学习要有三心，一信心，二决心，三恒心。下面是小编为大家整理的,数学知识点。希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!

　　1函数与导数知识点

　　1.函数的定义域与值域都是非空数集.求函数相关问题易忽略“定义域优先”原则或求错函数的定义域.如求f(x)=ln(x2-3x+2)的单调区间，只考虑t=x2-3x+2与函数y=ln t的单调性，忽视t>0的限制条件;求函数f(x)=的定义域时，只考虑到x>0，x≠0，而忽视ln x≠0的限制.

　　2.考生应注意函数奇偶性的定义，易忽视函数定义域关于坐标原点对称的限制条件;求函数的单调区间，易盲目在多个单调区间之间添加符号“∪”.

　　3.不能准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y=ax(a>0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax>0;对数函数y=logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件.

　　4.考生易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.

　　5.不能准确记忆基本初等函数的图象，不能准确利用函数图象平移、伸缩变换得到所需函数的图象，如画出函数f(x)=lg(1-x)的图象时，不能通过对y=lg x的图象正确进行变换得到.

　　6.不能准确把握常见的函数模型，导致函数建模出错，易忽视函数实际应用中的定义域等;遗漏运算结果后面的单位与最后题目的结论(答案).

　　7.不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0))既在切线上，又在函数图象上，导致某些求导数的问题不能正确解出.

　　8.考生易错记基本初等函数的导数以及错用函数求导法则，导致错求函数的导数.

　　9.考生易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f′(x0)=0是函数y=f(x)在x=x0处有极值的充分条件.

　　10.考生易混淆求函数的单调区间与已知函数的单调区间求参数的取值范围两类问题，求解函数的单调区间直接转化为f′(x)>0或f′(x)<0的解集;而已知函数在区间M上单调递增(减)，则要转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0的恒成立问题.

　　2函数与导数易错考点

　　求函数定义域忽视细节致误

　　错因分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。

　　在求一般函数定义域时要注意下面几点：

　　(1)分母不为0;

　　(2)偶次被开放式非负;

　　(3)真数大于0;

　　(4)0的0次幂没有意义。

　　函数的定义域是非空的数集，在解决函数定义域时不要忘记了这点。对于复合函数，要注意外层函数的定义域是由内层函数的值域决定的。

　　带有绝对值的函数单调性判断错误

　　错因分析：带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：

　　一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合;

　　二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断。研究函数问题离不开函数图象，函数图象反应了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题，寻找解决问题的方案。

　　对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，千万记住不要使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

　　求函数奇偶性的常见错误

　　错因分析：求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等。

　　判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。

　　在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断，在用定义进行判断时要注意自变量在定义域区间内的任意性。

　　抽象函数中推理不严密致误

　　错因分析：很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质。

　　解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是进一步解决问题的突破口。

　　抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理证明一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

　　函数零点定理使用不当致误

　　错因分析：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也是方程f(c)=0的根，这个结论我们一般称之为函数的零点定理。

　　函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题。

　　混淆两类切线致误

　　错因分析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。因此求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。

　　混淆导数与单调性的关系致误

　　错因分析：对于一个函数在某个区间上是增函数，如果认为函数的导函数在此区间上恒大于0，就会出错。

　　研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意：一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。

　　导数与极值关系不清致误

　　错因分析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的`错误就是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。

　　出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，在此提醒广大考生在使用导数求函数极值时一定要注意对极值点进行检验。

　　3函数与导数易错题

　　(一)在下面9个小题中，有3个表述不正确，请在题后用“√”或“×”判定，并改正过来.

　　1.设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数. (　　)

　　2.指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1);对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0). (　　)

　　3.设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

　　4.ab=N⇔b=logaN(a>0，a≠1)是解决“指数、对数”运算问题的关键.(　　)

　　5.函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根，所以方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. (　　)

　　6.几个重要的求导公式：(xn)′=n·xn-1(n∈N*)，(sin x)′=cos x，(cos x)′=

　　sin x，(ax)′=ax·ln a，(logax)′=(a>0，a≠1). (　　)

　　7.如果函数f(x)，g(x)是可导函数，则[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)，

　　′=(g(x)≠0). (　　)

　　8.在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内单调递增;如果f′(x)<0.那么函数y=f(x)在区间(a，b)内单调递减. (　　)

　　9.函数f(x)在x0处有f′(x0)=0，且在点x=x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)叫函数y=f(x)的极大值;若在点x=x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)叫做函数y=f(x)的极小值，函数的极大值可能会小于函数的极小值. (　　)

　　名师点拨

　　1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.× 7.√ 8.√ 9.×

　　第3题，第9题没有理解函数最值和极大(小)值的概念，第6题记错y=cos x，y=logax的求导公式.

　　订正3　设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

　　订正6　几个重要的求导公式：(xn)=nxn-1(n∈N*)，(sin x)′=cos x，(cos x)′=-sin x，(ax)′=axln a，(loga x)′=(a>0，a≠1).

　　订正9　函数f(x)在x0处有f′(x0)=0，且在点x=x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)叫函数y=f(x)的极小值;若在点x=x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)叫做函数y=f(x)的极大值.函数的极大值可能会小于函数的极小值.

　　(二)在下面10个小题中，有3个表述不正确，请在题后用“√”或“×”判定，并改正过来.

　　1.函数y=f(x)的图象与直线x=a(a∈R)的交点可能是0个、1个或2个.(　　)

　　2.f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.存在既是奇函数又是偶函数的函数：f(x)=0. (　　)

　　3.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性. (　　)

　　4.若满足f(x+a)=f(x-a)，则f(x)是周期函数，T=2a;若满足f(x+a)=，则f(x)是周期函数，T=2a(a≠0，a为常数). (　　)

　　5.若f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于x=a对称;如果f(x)满足f(x)=

　　-f(2a-x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)对称. (　　)

　　6.函数y=ax与y=logax(a>0，a≠1)的图象关于直线y=x对称，且两函数在各自定义域上具有相同的单调性. (　　)

　　7.函数零点的存在性：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上，有f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0.如果f(x)在(a，b)上单调，则y=f(x)在(a，b)内有唯一的零点. (　　)

　　8.f′(x0)是曲线y=f(x)在点P(x0，y0)处的切线斜率，相应的切线方程是y-y0=f′(x0)(x-x0). (　　)

　　9.f′(x)≥0是可导函数f(x)在x∈(a，b)内是增函数的充要条件;f′(x0)=0是可导函数在x=x0处取得极值的必要条件. (　　)

　　10.判断极值时，需检验f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值. (　　)

　　名师点拨

　　1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 9.× 10.√

　　第1题不符合函数定义;第7题不满足零点存在定理的条件;第9题错误理解函数单调性与导数的关系.

　　订正1　函数y=f(x)的图象与直线x=a(a∈R)的交点可能是0个或1个，即最多有一个交点.

　　订正7　函数零点的存在性：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0.如果函数y=f(x)在区间(a，b)内单调，则函数y=f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点.

　　订正9　可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数的充要条件是：对于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0，且f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒为零