高考数学重要知识点：韦达定理

高考数学重要知识点：韦达定理

　　韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。是高考数学的重要知识点，一起来复习下吧：

　　韦达定理公式：

　　一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中

　　设两个根为x和y

　　则x+y=-b/a

　　xy=c/a

　　韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0

　　它的根记作X1，X2…，Xn

　　我们有

　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

　　…

　　∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)

　　其中∑是求和，∏是求积。

　　如果一元二次方程

　　在复数集中的根是，那么

　　法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

　　由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

　　在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

　　其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

　　韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

　　定理的证明

　　设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解,高中历史，且不妨令x_1 ge x_2.根据求根公式，有

　　x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}

　　所以

　　x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，

　　x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac