管理员高考数学知识点梳理复习函数定义域教案 教案15 函数的定义域 一、前检测 1. （2008全国）函数 的定义域是____________. 答案： 2.函数 的定义域为 ，则 的定义域为____________. 答案： 3．函数 的定义域为（ ） 二、知识梳理 1．函数的定义域就是使函……
高考数学知识点梳理复习函数定义域教案
教案15 函数的定义域
一、前检测
1. （2008全国）函数 的定义域是____________. 答案：
2.函数 的定义域为 ，则 的定义域为____________. 答案：
3．函数 的定义域为（ ）
二、知识梳理
1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 答案：有意义的自变量的取值
解读：
2．常见的三种题型确定定义域：
① 已知函数的解析式，就是 . 答案：解不等式（组）
如：① ，则 ； ② ，则 ；
③ ，则 ； ④ ，则 ；
⑤ ，则 ； ⑥ 是整式时，定义域是全体实数。
解读：
② 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域.
解读：
③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.
解读：
三、典型例题分析
例1。求下列函数的定义域
(1) ； 答案：
(2) 答案：
变式训练：求下列函数的定义域
（1） 答案：
（2）f(x)＝ 答案：
小结与拓展：根据基本初等函数的定义域构建不等式（组）
例2 （1）若 的定义域为［－1，1］，求函数 的定义域
解： 的定义域为［－2，0］
（2）若 的定义域是［－1，1］，求函数 的定义域
解： ， 的定义域为［0，2］
变式训练1：已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
答案：
变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)f(x-a)（0＜a＜ ）的定义域是（ B ）
A. ? B.［a，1-a］? C.［-a，1+a］? D.［0，1］?
小结与拓展：求函数的定义域要注意是求 的取值范围，对同一对应法则定义域是相同的。
例3 如图，等腰梯形ABCD内接于一个半径为r的圆，且下底AD＝2r，如图，记腰AB长为x，梯形周长为y，试用x表示y并求出函数的定义域
解：连结BD，过B向AD作垂线BE，垂足为E
∵AD为直径，∴∠ABD＝90°，又AD＝2r，AB＝x
在△ABE中，
小结与拓展：
对于实际问题，在求出函数解析式后，必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义确定。
变式训练：等腰梯形ABCD的两底分别为 ，作直线 交 于 ，交折线ABCD于 ，记 ，试将梯形ABCD位于直线 左侧的面积 表示为 的函数，并写出函数的定义域。
答案：
四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.反思（不足并查漏）：
2016届高考数学第一轮古典概型导学案复习
高三数学理科复习48----古典概型
【高考要求】古典概型（B）; 互斥事及其发生的概率（A）
【学习目标】：1、了解概率的频率定义，知道随机事的发生是随机性与规律性的统一；
2、理解古典概型的特点，会解较简单的古典概型问题；
3、了解互斥事与对立事的概率公式，并能运用于简单的概率计算.
【知识复习与自学质疑】
1、古典概型是一种理想化的概率模型，假设试验的结果数具有 性和 性.解古典概型问题关键是判断和计数，要掌握简单的记数方法（主要是列举法）.借助于互斥、对立关系将事分解或转化是很重要的方法.
2、(A)在10同类产品中，其中8为正品，2为次品。从中任意抽出3，则下列4个事：①3都是正品；②至少有一是正品；③3都是次品；④至少有一是次品.是必然事的是 .
3、(A)从5个红球，1个黄球中随机取出2个，所取出的两个球颜色不同的概率是 。
4、(A)同时抛两个各面上分别标有1、2、3、4、5、6均匀的正方体玩具一次，“向上的两个数字之和为3”的概率是 .
5、(A)某人射击5枪，命中3枪，三枪中恰好有2枪连中的概率是 .
6、(B)若实数 ,则曲线 表示焦点在y轴上的双曲线的概率是 .
【例题精讲】
1、(A)甲、乙两人参加知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
2、(B)黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示：
血型ABABO
该血型的人所占的比（％）2829835
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
3、(B)将两粒骰子投掷两次，求：（1）向上的点数之和是8的概率；（2）向上的点数之和不小于8 的概率；（3）向上的点数之和不超过10的概率.
4、(B)将一个各面上均涂有颜色的正方体锯成 (n个同样大小的正方体，从这些小正方体中任取一个，求下列事的概率：（1）三面涂有颜色；（2）恰有两面涂有颜色；
（3）恰有一面涂有颜色；（4）至少有一面涂有颜色.
【矫正反馈】
1、(A)一个三位数的密码锁，每位上的数字都可在0到10这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，开锁时在对好前两位号码后，随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率是 .
2、(A)第1、2、5、7路公共汽车都要停靠的一个车站，有一位乘客等候着1路或5路汽车，假定各路汽车首先到站的可能性相等，那么首先到站的正好是这位乘客所要乘的的车的概率是 .
3、(A)某射击运动员在打靶中，连续射击3次，事“至少有两次中靶”的对立事是 .
4、(B)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3％和1％，求抽验一只是正品（甲级）的概率 .
5、(B)袋中装有4只白球和2只黑球，从中先后摸出2只求（不放回）.求：（1）第一次摸出黑球的概率；（2）第二次摸出黑球的概率；（3）第一次及第二次都摸出黑球的概率.
【迁移应用】
1、(A)将一粒骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率是 .
2、(A)从鱼塘中打一网鱼，共条，做上标记后放回池塘中，过了几天，又打上一网鱼，共N条，其中条有标记，估计池塘中鱼的条数为 .
3、(A)从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中，任取2张，这两张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是 .
4、(B)电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率是 .
5、(B)将甲、乙两粒骰子先后各抛一次，a,b分别表示抛掷甲、乙两粒骰子所出现的点数.
（1）若点P（a,b）落在不等式组 表示的平面区域记为A，求事A的概率；
（2）求P（a,b）落在直线x+y=m（m为常数）上，且使此事的概率最大，求m的值.
高考数学三角函数的图象知识归纳复习教案
3.三角函数的图象
目标：了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图，理解 的物理意义，掌握由函数 的图象到函数 的图象的变换原理．
重点：函数 的图象到函数 的图象的变换方法．
教学过程：
一、主要知识：
1．三角函数线；注：
2．
3．
①用五点法作图
0A0-A0
②图象变换：平移、伸缩两个程序
③A---振幅 ----周期 ----频率
4．图象的对称性
① 的图象既是中心对称图形又是轴对称图形。
② 的图象是中心对称图形，有无穷多条垂直于x轴的渐近线。
二、主要方法：
1．“五点法”画正弦、余弦函数和函数 的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；
2．给出图象求 的解析式的难点在于 的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期 ，进而确定 ．
三、例题分析：
1．三角函数线的应用
例1：解三角不等式组
思路分析：利用三角函数线和单调性求解。
解：如图：
2．三角函数图象的变换
例2．已知函数
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合
（2）该函数的图象可由 的图象经怎样的平移和伸缩变换得到？
思路分析：利用三角变换，将 化为 求解。
解：①
②1）将函数 的图象向左平移 得函数 的图象；
2)将所得图象上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得函数 的图象,
3)将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变),得函数 的图象,
4)将所得图象向上平移 个单位长度,到得函数 的图象,
3．由图象写解析式或由解析式作图
例3如图为某三角函数图象的一段
（1）用函数 写出其中一个解析式；
（2）求与这个函数关于直线 对称的函数解析式，并作出它一个周期内简图。
思路分析：由 ，由最值定A，由特殊值定 ，用五点法作简图。
解：（1）
由图它过 （为其中一个值）
（2） 上任意一点，该点关于直线 对称点为
关于直线 对称的函数解析式是
列表：
0-3030
作图：
4．三角函数的综合应用
例4已知函数f(x)＝ 为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
（Ⅰ）求f（ ）的值；
（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
解：（Ⅰ）f(x)＝
＝2sin( - )
因为 f(x)为偶函数，
所以 对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，
因此 sin（- - ）＝sin( - ).
即-sin cos( - )+cos sin( - )=sin cos( - )+cos sin( - ),
整理得 sin cos( - )=0.因为 ＞0，且x∈R,所以 cos（ - ）＝0.
又因为 0＜ ＜π，故 - ＝ .所以 f(x)＝2sin( + )=2cos .
由题意得
故 f(x)=2cos2x. 因为
（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个 个单位后，得到 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到 的图象.
当 2kπ≤ ≤2 kπ+ π (k∈Z),
即 4kπ＋≤ ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为 (k∈Z)
（备选例5）、已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数 在区间 上的值域
解：（1）
由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 当 时， 取最大值 1
又 ，当 时， 取最小值
所以 函数 在区间 上的值域为
高三理科数学三角函数总复习教学案
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考试要求重难点击命题展望
1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
3.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sin x， y＝cos x ， y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.
4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在(－ , )上的单调性.
5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1 ， ＝tan x.
6.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
7.会用三角函数解决一些简单实际问题，三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，y＝Asin(ωx＋)
(ω＞0)的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用.
本难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明； 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题. 三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则.
知识网络
5.1 任意角的三角函数的概念
典例精析
题型一 象限角与终边相同的角
【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、 的终边所在的象限.
【解析】因为α是第二象限角，
所以k 360°＋90°＜α＜k 360°＋180°(k∈Z).
因为2k 360°＋180°＜2α＜2k 360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上.
因为k 180°＋45°＜α2＜k 180°＋90°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，n 360°＋45°＜α2＜n 360°＋90°，
当k＝2n＋1(n∈Z)时，n 360°＋225°＜α2＜n 360°＋270°.
所以α2是第一或第三象限角 .
【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限.
如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三 象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.
【变式训练1】若角2α的终边在x轴上方，那么角α是( )
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角
【解析】由题意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＜α＜kπ＋π2，k∈Z.
当k是奇数时，α是第三象限角.
当k是偶数时，α是第一象限角.故选C.
题型二 弧长公式，面积公式的应用
【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.
【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
因为α＝60°＝π3，R＝10 cm，所以l＝10π3 cm，
S弓＝S扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm2.
(2)因为C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝C2＋α，
S扇＝12αR2＝12α(C2＋α)2＝C22 αα2＋4α＋4＝C22 1α＋4α＋4≤C216，
当且仅当α＝4α时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C216.
【点拨】用弧长公式l＝ α R与扇形面积公式S＝12lR＝12R2α时，α的单位必须是弧度.
【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值？并求出最小值.
【解析】因为S＝12Rl，所以Rl＝2S，
所以周长C＝l＋2R≥22Rl＝24S＝4S，
当且仅当l＝2R时，C＝4S，
所以当α＝lR＝2时，周长C有最小值4S.
题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用
【例3】(1)已知角α的终边与函数y＝2x的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x≤32的角x的集合.
【解析】(1)由 交点为(－55，－255)或(55，255 )，
所以sin α＝±255.
(2)①找终边：在y轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x的终边，并写出对应的角.
②画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分.
③写集合：所求角x的集合是{x2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观.
【变式训练3】函数y＝lg sin x＋cos x－12的定义域为 .
【解析】
2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z.
所以函数的定义域为{x2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
提高
1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.
2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k360°＋π3的错误书写.
3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.
5.2 同角三角函数的关系、诱导公式
典例精析
题型一 三角函数式的化简问题
【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.
【变式训练1】已知f(x)＝1－x，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .
【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ.
因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.
所以sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.
题型二 三角函数式的求值问题
【例2】已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2).
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若a＝b，0＜θ＜π，求 θ的值.
【解析】(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.
(2)由a＝b知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，
于是sin(2θ＋π4)＝－22.
又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，
所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.
因此θ＝π2或θ＝3π4.
【变式训练2】已知tan α＝12，则2sin αcos α＋cos2α等于( )
A.45 B.85 C.65 D.2
【解析】原式＝2sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan α＋11＋tan2α＝85.故选B.
题型三 三角函数式的简单应用问题
【例3】已知－π2＜x＜0且sin x＋cos x＝15，求：
(1)sin x－cos x的值；
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.
【解析】(1)由已知得2sin xcos x＝－2425，且sin x＜0＜cos x，
所以sin x－cos x＝－(sin x－cos x)2＝－1－2sin xcos x＝－1＋2425＝－75.
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)＝cos3x－sin3x＝(cos x－sin x)(cos2x＋cos xsin x＋sin2x)
＝75×(1－1225)＝91125.
【点拨】求形如sin x±cos x的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x±cos x取值符号.
【变式训练3】化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.
【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]
＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.
提高
1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.
2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.
5.3 两角和与差、二倍角的三角函数
典例精析
题型一 三角函数式的化简
【例1】化简 (0＜θ＜π).
【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，
所以原式＝
＝ ＝－cos θ.
【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ.
【变式训练1】化简2cos4x－2cos2x＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).
【解析】原式＝12(2cos2x－1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x2sin(π2－2x)＝12cos 2x.
题型二 三角函数式的求值
【例2】已知sin x2－2cos x2＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.
【解析】(1)由sin x2－2cos x2＝0tan x2＝2，所以tan x＝ ＝2×21－22＝－43.
(2)原式＝cos2x－sin2x2(22cos x－22sin x)sin x
＝(cos x－sin x)(cos x＋sin x)(cos x－sin x)sin x＝cos x＋sin xsin x＝1tan x＋1＝(－34)＋1＝14.
【变式训练2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .
【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝3.
题型三 已知三角函数值求解
【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.
【解析】因为tan 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43，
所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，
又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13，
因为α∈(0，π)，所以0＜α＜π4，
又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.
【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小.
【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sin α，则α与β的大小关系是( )
A.α＝βB.α＜β
C.α＞β D.以上都有可能
【解析】方法一：因为2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤12，又α是锐角，所以α≤30°.
又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.
方法二：因为2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，
所以sin α＜sin β.
又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B.
总结提高
1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具.
(1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；
(2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；
(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.
2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条.
5.4 三角恒等变换
典例精析
题型一 三角函数的求值
【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值.
【解析】由4tan α2＝1－tan2α2，得tan α＝ ＝12.
由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2 tan α＝1.
又因为α、β∈(0，π4)，所以α＋β＝π4.
【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.
【变式训练1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )
A.1318 B.1322 C.723 D.318
【解析】因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，
所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.
故选C.
题型二 等式的证明
【例2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2co s(α＋β).
【证明】证法一：
右边＝sin [(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α
＝sin [(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝左边.
证法二：sin(2α＋β)sin α－sin βsin α＝sin(2α＋β)－sin βsin α＝2cos(α＋β)sin αsin α＝2cos(α＋β)，
所以sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.
【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.
【变式训练2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.
【证明】因为5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，
所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β，
所以2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0.
即tan(α－β)＋4tan β＝0.
题型三 三角恒等变换的应用
【例3】已知△ABC是非直角三角形.
(1)求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；
(2)若A＞B且tan A＝－2tan B，求证：tan C＝sin 2B3－cos 2B；
(3)在(2)的条下，求tan C的最大值.
【解析】(1)因为C＝π－(A＋B)，
所以tan C＝－tan(A＋B)＝－(tan A＋tan B)1－tan Atan B，
所以tan C－tan Atan Btan C＝－tan A－tan B，
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
(2)由(1)知tan C＝－(tan A＋tan B)1－tan Atan B＝tan B1＋2tan2B＝sin Bcos Bcos2B＋2sin2B＝
＝sin 2B2(2－1＋cos 2B2)＝sin 2B3－cos 2B.
(3)由(2)知tan C＝tan B1＋2tan2B＝12tan B＋1tan B≤122＝24，
当且仅当2tan B＝1tan B，即tan B＝22时，等号成立.
所以tan C的最大值为24.
【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.
【变式训练3】在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3，3tan A＋3tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状.
【解析】由已知得tan B＋tan C＝3(1－tan Btan C)，
3(tan A＋tan B)＝－(1－tan Atan B)，
即tan B＋tan C1－tan Btan C＝3，tan A＋tan B1－tan Atan B＝－33.
所以tan(B＋C)＝3，tan(A＋B)＝－33.
因为0＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝π3，A＋B＝5π6.
又A＋B＋C＝π，故A＝2π3，B＝C＝π6.
所以△ABC是顶角为2π3的等腰三角形.
总结提高
三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.
5.5 三角函数的图象和性质
典例精析
题型一 三角函数的周期性与奇偶性
【例1】已知函数f(x)＝2sin x4cos x4＋3cos x2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)令g(x)＝f(x＋π3)，判断g(x)的奇偶性.
【解析】(1)f(x)＝2sin x4cos x4＋3cos x2＝sin x2＋3cos x2＝2sin(x2＋π3)，
所以f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.
(2)g(x)＝f(x＋π3)＝2sin[12(x＋π3)＋π3]＝2sin(x2＋π2)＝2cos x2.
所以g(x)为偶函数.
【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.
【变式训练1】函数y＝sin2x＋sin xcos x的最小正周期T等于( )
A.2π B.π C.π2 D.π3
【解析】y＝1－cos 2x2＋12sin 2x＝22(22sin 2x－22cos 2x)＋12
＝22sin(2x－π4)＋12，所以T＝2π2＝π.故选B.
题型二 求函数的值域
【例2】求下列函数的值域：
(1)f(x)＝sin 2xsin x1－cos x；
(2)f(x)＝2cos(π3＋x)＋2cos x.
【解析】(1)f(x)＝2sin xcos xsin x1－cos x＝2cos x(1－cos2x)1－cos x＝2cos2x＋2cos x
＝2(cos x＋12)2－12，
当cos x＝1时，f(x)max＝4，但cos x≠1，所以f(x)＜4，
当cos x＝－12时，f(x)min＝－12，所以函数的值域为[－12，4).
(2)f(x)＝2(cos π3cos x－sin π3sin x)＋2cos x
＝3cos x－3sin x＝23cos(x＋π6)，
所以函数的值域为[－23，23].
【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.
【变式训练2】求y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域.
【解析】令t＝sin x＋cos x，则有t2＝1＋2sin xcos x，即sin xcos x＝t2－12.
所以y＝f(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1.
又t＝sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)，所以－2≤t≤2.
故y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－2≤t≤2)，
从而f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.
所以函数的值域为[－1，2＋12].
题型三 三角函数的单调 性
【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，φ＜π)的部分图象如图所示.
(1)求ω，φ的值；
(2)设g(x)＝f(x)f(x－π4)，求函数g(x)的单调递增区间.
【解析】(1)由图可知，T＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.
又由f(π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1.
因为φ＜π，所以φ＝－π2.
(2)f(x)＝sin(2x－π2)＝－cos 2x.
所以g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x－π2)]＝cos 2xsin 2x＝12sin 4x.
所以当2kπ－π2≤4x≤2kπ＋π2，即kπ2－π8≤x≤kπ2＋π8(k∈Z)时g(x)单调递增.
故函数g(x)的单调增区间为[kπ2－π8，kπ2＋π8](k∈Z).
【点拨】观察图象，获得T的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法.
【变式训练3】使函数y＝sin(π6－2x)(x∈[0，π])为增函数的区间是( )
A.[0，π3] B.[π12，7π12]
C.[π3，5π6] D.[5π6，π]
【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.
总结提高
1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.
2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.
3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.
4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.
5.6 函数y＝Asin(ωx＋ )的图象和性质
典例精析
题型一 “五点法”作函数图象
【例1】设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到.
【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2(12sin ωx＋32cos ωx)＝2sin(ωx＋π3)，
又因为T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋π3)，
所以函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的振幅为2，初相为π3.
(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.
(3)把y＝sin x图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y＝sin(x＋π3)的图象，再把
y＝sin(x＋π3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原的12(纵坐标不变)，得到y＝sin(2x＋π3)的图象，然后把y＝sin(2x＋π3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin(2x＋π3)的图象.
【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相应的x值及相应的y值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.
【变式训练1】函数
的图象如图所示，则( )
A.k＝12，ω＝12，φ＝π6
B.k＝12，ω＝12，φ＝π3
C.k＝12，ω＝2，φ＝π6
D.k＝－2，ω＝12，φ＝π3
【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k＝12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.将点(5π3，0)代入解析式y＝2sin(12x＋φ)，得12×5π3＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－5π6，k∈Z.结合各选项可知，选项A正确.
题型二 三角函数的单调性与值域
【例2】已知函数f(x)＝sin2ωx＋3sin ωxsin(ωx＋π2)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.
(1)求ω的值；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间.
【解析】(1)f(x)＝32sin 2ωx＋12cos 2ωx＋32＝sin(2ωx＋π6)＋32.
令2ωx＋π6＝π2，将x＝π6代入可得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π6)＋32，经过题设的变化得到函数g(x)＝sin(12x－π6)＋32，
当x＝4kπ＋43π，k∈Z时，函数g(x)取得最大值52.
令2kπ＋π2≤12x－π6≤2kπ＋32π，
即[4kπ＋4π3，4kπ＋103π](k∈Z)为函数的单调递减区间.
【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.
【变式训练2】若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则φ的最小值是( )
A.π4B.π3C.π2D.3π4
【解析】将函数y＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到y＝2sin[3(x－π4)＋φ]＝2sin(3x－3π4＋φ)的图象.
因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，
故有π4＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－π4(k∈Z).
当k＝0时，φ取得最小值π4，故选A.
题型三 三角函数的综合应用
【例3】已知函数y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).
(1)求φ的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008).
【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝A2－A2cos(2ωx＋2φ)，
因为y＝f(x)的最大值为2，又A＞0，
所以A2＋A2＝2，所以A＝2，
又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，
所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.
所以f(x)＝22－22cos(π2x＋2φ)＝1－cos(π2x＋2φ)，
因为y＝f(x)过点(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.
所以π2＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，
又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4.
(2)方法一：因为φ＝π4，
所以y＝1－cos(π2x＋π2)＝1＋sin π2x，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，
又因为y＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
方法二：因为f(x)＝2sin2(π4x＋φ)，
所以f(1)＋f(3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，
f(2)＋f(4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，
又因为y＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
【点拨】函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ，可得x＝kπ－φω，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.
【变式训练3】已知函数f(x)＝Acos2 ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝ .
【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×1＋cos 2ωx2＋2＝Acos 2ωx2＋A2＋2，则由题意知A＋2＝6，2π2ω＝8，所以A＝4，ω＝π8，所以f(x)＝2cos π4x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…观察周期性规律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.
总结提高
1.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx＋φ的取值，以便列表时能使x在给定的区间内取值.
2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x本身而言的，无论沿x轴平移还是伸缩，变化的总是x.
3.在解决y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质时，应将ωx＋φ视为一个整体x后再与基本函数
y＝sin x的性质对应求解.
5.7 正弦定理和余弦定理
典例精析
题型一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中，AB＝2，BC＝1，cos C＝34.
(1)求sin A的值；(2)求 的值.
【解析】(1)由cos C＝34得sin C＝74.
所以sin A＝BC sin CAB＝1×742＝148.
(2)由(1)知，cos A＝528.
所以cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C
＝－15232＋7232＝－24.
所以 ＝ ( ＋ )＝ ＋
＝－1＋1×2×cos B＝－1－12＝－32.
【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.
【变式训练1】在△ABC中，已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为a2＋b2－c24，则∠C＝ .
【解析】S＝a2＋b2－c24＝12absin C.
所以sin C＝a2＋b2－c22ab＝cos C.所以tan C＝1，
又∠C∈(0，π)，所以∠C＝π4.
题型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题
【例2】设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2A＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若 ＝12，a＝27，求b，c(其中b＜c).
【解析】(1)因为sin2A＝(32cos B＋12sin B)(32cos B－12sin B)＋sin2B＝34cos2 B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sin A＝±32.又A为锐角，所以A＝π3.
(2)由 ＝12可得cbcos A＝12.①
由( 1)知A＝π3，所以cb＝24.②
由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，将a＝27及①代入得c2＋b2＝52.③
③＋②×2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.
因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根.
又b＜c，所以b＝4，c＝6.
【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.
【变式训练2】在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(2a－c)cos B＝
bcos C.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面积.
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入(2a－c)cos B＝bcos C，
整理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin C cos B，
即2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A，
在△ABC中，sin A＞0,2cos B＝1，
因为∠B是三角形的内角，所以B＝60°.
(2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B
＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B，
将b＝7，a＋c＝4代入整理，得ac＝3.
故S△ABC＝12acsin B＝32sin 60°＝334.
题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用
【例3】(2010陕西)如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救 援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点需要多长时间？
【解析】由题意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，
所以DB＝ ＝
＝ ＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，
所以CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时).
所以，救援船到达D点需要1小时.
【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是：
(1)根据题意，抽象地构造出三角形；
(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系；
(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；
(4)给出结论.
【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛的方位角为北偏东α角，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条 时，该船没有触礁危险.
【解析】由题可知，在△AB中，根据正弦定理得Bsin(90°－α)＝msin(α－β)，解得B＝mcos αsin(α－β)，要使船 没有触礁危险需要Bsin(90°－β)＝mcos αcos βsin(α－β)＞n.所以α与β的关系满足mcos αcos β＞nsin(α－β)时，船没有触礁危险.
总结提高
1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A＞B与sin A＞sin B是一种等价关系.
2.在判断三角形的形状时，一般将已知条中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.
3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条判断角的范围，以免增解或漏解.
5.8 三角函数的综合应用
典例精析
题型一 利用三角函数的性质解应用题
【例1】如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形 停车场，使矩形的一个顶点P在 上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.
【解析】如图，连接AP，过P作P⊥AB于.
设∠PA＝α，0≤α≤π2，
则P＝90sin α，A＝90cos α，
所以PQ＝100－90cos α，PR＝100－90sin α，
于是S四边形PQCR＝PQPR
＝(100－90cos α)(100－90sin α)
＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000.
设t＝sin α＋cos α，则1≤t≤2，sin αcos α＝t2－12.
S四边形PQCR＝8 100t2－12－9 000t＋10 000
＝4 050(t－109)2＋950 (1≤t≤2).
当t＝2时，(S四边形PQCR)max＝14 050－9 0002 m2；
当t＝109时，(S四边形PQCR)min＝950 m2.
【点拨】同时含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函数求最值时，可设sin θ±cos θ＝t，把sin θcos θ用t表示，从而把问题转化成关于t的二次函数的最值问题.注意t的取值范围.
【变式训练1】若0＜x＜π2，则4x与sin 3x的大小关系是( )
A.4x＞sin 3xB.4x＜sin 3x
C.4x≥sin 3xD.与x的值有关
【解析】令f(x)＝4x－sin 3x，则f′(x)＝4－3cos 3x.因为f′(x)＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)为增函数.又0＜x＜π2，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin 3x＞0.所以4x＞sin 3x.故选A.
题型二 函数y＝Asin(ωx＋φ)模型的应用
【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t).下表是某日各时的浪花高度数据.
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
【解析】(1)由表中数据知，周期T＝12，所以ω＝2πT＝2π12＝π6.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
所以A＝0.5，b＝1，所以振幅为12.所以y＝12cos π6t＋1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，
所以12cos π6t＋1＞1，所以cos π6t＞0，
所以2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，即12k－3＜t＜12k＋3.①
因为0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.
【点拨】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.
【变 式训练2】如图，一个半径为10 m的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为d m(P在水面下则d为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且当点P从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k＝5.其中正确结论的序号是 .
【解析】①②④.
题型三 正、余弦定理的应用
【例3】为了测量两顶、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、、N在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机 能测量的数据有俯角和A、B之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用字和公式写出计算、N间距离的步骤.
【解析】(1)如图所示：①测AB间的距离a；②测俯角∠AB＝φ，∠NAB＝θ，∠BA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△AB中 ，∠AB＝π－φ－β，由正弦定理得
B＝ABsin φsin∠AB＝asin φsin(φ＋β)，
同理在△BAN中，BN＝ABsin θsin∠ANB＝asin θsin(θ＋γ)，
所以在△BN中，由余弦定理得
N＝
＝a2sin2φsin2(φ＋β)＋a2sin2θsin2(θ＋γ)－2a2sin θsin φcos(γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ).
【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是 海里/小时.
【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB＝10，∠OCB＝60°，∠OCA＝75°.我们只需计算出OC的长，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，显然有OBOC＝tan∠OCB＝tan 60°且OAOC＝tan∠OCA＝tan 75°，
因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有
OC＝ABtan 75°－tan 60°＝10tan 75°－tan 60°
＝10tan(30°＋45°)－tan 60°
＝10tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°－tan 60°＝1013＋11－13－3＝5.
由此可得船的速度为5海里÷0.5小时＝10海里/小时.
总结提高
1.解三角形的应用题时应注意：
(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；
(2)将所有已知条化入同一个三角形中求解；
(3)方程思想在解题中的运用.
2.解三角函数的综合题时应注意：
(1)与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；
(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c；
(3)换元方法在解题中的运用.
2016届高考数学空间向量与立体几何备考复习教案
专题四：立体几何
第三讲 空间向量与立体几何
【最新考纲透析】
1．空间向量及其运算
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
2．空间向量的应用
（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。
（2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。
（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。
（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何 问题中的应用。
【核心要点突破】
要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系
考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。
2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。
考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。
2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。
例1：（2010?安徽高考理科?Ｔ18）如图，在多面体 中，四边形 是正方形， ∥ ， ， ， ， ， 为 的中点。
(1)求证： ∥平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求二面角 的大小。
【命题立意】本题主要考查了空间几何体的 线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。
【规范解答】
(1)
(2)
(3)
【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；
2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；
3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。
4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。
要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角
考情聚焦：1．线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。
2．在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。
考向链接：1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:
（1）异面直线所成角
设 分别为异面直线 的方向向量，则
（2）线面角
设 是直线 的方向向量， 是平面的法向量，则
2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：
（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。
例2：（2010?辽宁高考理科?Ｔ19）已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC= AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别 为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，
计算 的数量积，写出答案；
求平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。
【规范解答】
设PA＝1，以A为原点，射线AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N( ,0,0)，S(1, ,0)
（I）
【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。
（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。
（3）线面角的范围是0°～90°，因此直线的方向向 量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。
要点考向3：利用空间向量求二面角
考情聚焦：1．二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。
2．常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。
考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。
其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等，
例3：
如图，在长方体 中， 、 分别是棱 ,
上的点， ,
求异面直线 与 所成角的余弦值；
证明 平面
求二面角 的正弦值。
【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。
【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。
【规范解答】方法一：以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴建立空间直角坐标系（如图所示），设 ,依题意得 , , ,
易得 , ，于是 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 。
证明：已知 , ,
于是 ? =0， ? =0.因此， , ,又
所以 平面
(3)解：设平面 的法向量 ，则 ,即
不妨令X=1,可得 。由（2）可知， 为平面 的一个法向量。
于是 ，从而
所以二面角 的正弦值为
要点考向4：利用空间向量解决探索性问题
考情聚焦：立体几何中已知结论寻求结论成立的条件（或是否存在问题），能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，是今后考查的重点，也能很好地体现新课标高考的特点。
例4：（2010?福建高考理科?Ｔ18）如图，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。
（I）证明：平面A1ACC1 平面B1BCC1；
（II）设AB＝AA1,在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p。
（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；
（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为 （ ）。当p取最大值时，求cos 的值。
【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。
【思路点拨】第一步先由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到面面垂直；第二步首先求出长方体的体积，并求解三棱柱的体积的最大值，利用体积比计算出几何概率。立体几何中 我们可以利用向量处理角度问题，立体几何中涉及的角：有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于角的计算，均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量 ，有 ，利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题。
【规范解答】 （I） 平面 ， 平面 ， ，又 是 的直径， ，又 ， 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ；
（II）（i）设圆柱的底面半径为 ，则 ，故圆柱的体积为 ，设三棱柱ABC-A1B1C1,的体积为 ，所以 ，所以当 取得最大值时 取得最大值。又因为点 在圆周上运动，所以当 时， 的面积最大，进而，三棱柱ABC-A1B1C1,的体积 最大，且其最大值为 ，故 的最大值为 ；
（ii）由（i）知， 取最大值时， ，于是，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，则 平面 ， 是平面 的一个法向量，设平面 的法向量为 ，由于 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ， ， 。
【方法技巧】立体几何中我们可以利用空间向量处理常见的问题，本题的（II）（i）也可以采用向量法进行证 明：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，设圆柱的底面半径为 ， ，则 ，故圆柱的体积为 ，设三棱柱ABC-A1B1C1,的体积为 ，所以 ，所以当 取得最大值时 取得最大值。 ，所以当 时的 的面积最大，进而，三棱柱ABC-A1B1C1,的体积 最大，且其最大值为 ，故 的最大值为 ；
【高考真题探究】
1. 若向量 =（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件 =-2,则 = .
【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】 先算出 、 ，再由向量的数量积列出方程，从而求出
【规范解答】 ， ，由
得 ，即 ，解得
【答案】2
2. 如图， 在矩形 中，点 分别在线段
上， .沿直线 将 翻折成 ，使平面 .
（Ⅰ）求二面角 的余弦值；
（Ⅱ）点 分别在线段 上，若沿直线 将四边形 向上翻折，使 与 重合，求线段 的长。
【命题立意】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用几何法解决求二面角问题和翻折问题。
【规范解答】方法一：（Ⅰ）取线段EF的中点H，连结 ，因为 = 及H是EF的中点，所以 ,又因为平面 平面 .
如图建立空间直角坐标系A-xyz，则 （2，2， ），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）. 故 =（-2，2，2 ）， =（6，0，0）.设 =（x,y,z）为平面 的一个法向量，所以 。
取 ，则 。
又平面 的一个法向量 ，故 。
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）设 ，则 ， ，
因为翻折后， 与 重合，所以 ， ，
故， ，得 ， ，
所以 。
3. （2010陕西高考理科１8）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2， BC= ，E，F分别是AD,PC的中点.
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧。
【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用几何法求解.
【规范解答】解法一 （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵AP=AB=2， BC= ，四边形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0， ，0)，P(0,0,2)
又E，F分别是AD ，PC的中点，
∴E(0， ，0),F(1， ，1).
∴ =（2， ，-2） =（-1， ，1） =（1,0, 1），
∴ ? =-2+4-2=0， ? =2+0-2=0，
∴PC⊥BF,PC⊥EF, ,
∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP 的法向量
设平面BEF与平面BAP的夹角为 ，
则
∴ ， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为
4. （2010重庆高考文科20）如题图，四棱锥 中，
底面 为矩形， ， ，
点 是棱 的中点.
（I）证明： ；
（II）若 ，求二面角 的平面角的余弦值.
【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，
考查余弦定理及其应用，考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合的思想，考查化归与转化的思想.
【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函数、余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值.
【规范解答】（I）以 为坐标原点，
射线 分别为 轴、 轴、 轴的正半轴，
建立空间直角坐标系 .如图所示.
设设 ，则 ， ， ， 。于是 ， ， ，则 ，
所以 ，故 .
（II）设平面BEC的法向量为 ，由（Ⅰ）知， ，故可取 .设平面DEC的法向量 ，则 ，，由 ，得D ，G ，
从而 ， ，故 ，所以 ， ，可取 ，则 ，从而 .
【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题.
5. （2010江西高考文科２０）
如图， 与 都是边长为2的正三角形，
平面 平面 ， 平面 ， .
（1）求直线 与平面 所成的角的大小；
（2）求平面 与平面 所成的二面角的正弦值.
【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系，考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题，考查空间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、划归转化能力和运算求解能力。
【思路点拨】本题主要有两种方法，法一：几何法（1）直接找出线面角，然后求解；
（2）对二面角的求法思路， 一般是 分三步①“作”，②“证”，③“求”. 其中“作”是关键， “证”
是难点.法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.
【规范解答】取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面 平面 ,则MO⊥平面 .
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM= ，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0， ），B（0，- ，0），A（0，- ，2 ），
（1）设直线AM与平面BCD所成的角为 .
因 （0， ， ），平面
的法向量为 .则有
，所以 .
（2） ， .
设平面ACM的法向量为 ，由 得 .
解得 ， ，取 .又平面BCD的法向量为 ，
则
设所求二面角为 ，则 .
6. （2010四川高考理科18）
已知正方体 的棱长为1，点 是棱 的中点，
点 是对角线 的中点.
（Ⅰ）求证： 为异面直线 和 的公垂线；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积.
【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、
二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，转化与化归的数学思想.
【思路点拨】方法一：几何法 问题（Ⅰ），分别证明 ， 即可.
问题（II）首先利用三垂线定理，作出二面角 的平面角， 然后通过平面角所在的直角三角形，求出平面角的一个三角函数值，便可解决问题.
问题（Ⅲ）选择便于计算的底面和高，观察图形可知， 和 都在平面 内，且 ，故 ，利用三棱锥的体积公式很快求出 .
方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.
【规范解答】(方法一)：（I）连结 .取 的中点 ，则 为 的中点，连结 .
∵点 是棱 的中点，点 是 的中点，
由 ，得 .
又∵ 与异面直线 和 都相交，
故 为异面直线 和 的公垂线，
（II）取 的中点 ，连结 ，则 ，
过点 过点 作 于 ，连结 ，则由三垂线
定理得， .
∴ 为二面角 的平面角.
在 中.
故二面角 的大小为 .
（III）易知， ,且 和 都在平面 内，
点 到平面 的距离 ，
(方法二)：以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
（I） ∵点 是棱 的中点，点 是 的中点，
又∵ 与异面直线 和 都相交，
故 为异面直线 和 的公垂线，
（II）设平面 的一个法向量为 ，
即
取 ，则 . .
取平面 的 一个法向量 .
由图可知，二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的大小为 .
（III）易知， ，设平面 的一个法向量为 ，
即
取 ，则 ，从而 .
点 到平面 的距离 .
【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.已知点A（-3,1,-4），则点A关于x轴的对称点的坐标为( )
(A)（-3,-1,4）
(B)(-3,-1,-4)
(C)(3,1,4)
(D)(3,-1,-4)
2.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
3. 设动直线 与函数 和 的图象分别交于 、 两点，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
4. 在直角坐标系中，设 ， ，沿 轴把坐标平面折成 的二面角后， 的长为（ ）
A． B． C． D．
5. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6. 如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若 ， ， 则下列向量中与 相等的向量是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题（每小题6分，共18分）
7． ， ， 是空间交于同一点 的互相垂直的三条直线，点 到这三条直线的距离分别为 , , ，则 ,则 _ _。
8．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1两两之间夹角均为600，则 ? =
9．将正方形 沿对角线 折成直二面角后，有下列四个结论：
（1） ； （2） 是等边三角形；
（3） 与平面 成60° ； （4） 与 所成的角为60°．
其中正确结论的序号为_________（填上所有正确结论的序号）．
三、解答题（共46分）
10. 如图，在四棱锥P—ABCD中， 底面是边长为 2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O， ,E、F分别是BC、AP的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求二面角A—BP—D的余弦值．
11. 某组合体由直三棱柱 与正三棱锥 组成，如图所示，其中， ．它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为 +1， ， +1．
（1）求直线 与平面 所成角的正弦；
（2）在线段 上是否存在点 ，使 平面 ，若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由．
12. 如图，三棱柱 中， 面 ，
, ， ， 为 的中点。
(I)求证： 面 ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值
参考答案
1．【解析】选A.∵点A关于x轴对称点的规律是在x轴上的坐标不变，在y轴，z轴上的坐标分别变为相反数，∴点A（-3，1，-4）关于x轴的对称点的坐标为（-3,-1,4）.
2．【解析】选B.以A为坐标原点，AC、AA1分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系.设底面边长为2a.侧棱长为2b.
3．D
4．D
5．C
6．A
7．64
8．3
9．（1）（2）（4）
10．解：（1）证明：取PD的中点G，连接FG、CG
∵FG是△PAD的中卫县 ，∴FG ，
在菱形ABCD中，AD BC，又E为BC的中点，
∴CE FG，∴四边形EFGC是平行四边形，
∴EF∥CG
又EF 面PCD，CG 面PCD，
∴EF∥面PCD
（2）法1：以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为 、 、 轴建立如
图所示的空间直角坐标系。
则0（0，0，0），A（0， ，0），B（1，0，0） （0，0， ）
=（1， ，0） =（0， ， ）
设面ABP的发向量为 ，则
，即 即
取
又 ， ，
∴OA⊥面PBD，∴ 为面PBD的发向量，
∴ =（0， ，0）
所以所求二面角的余弦值为
法2：在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵OP⊥面ABCD，AC 面ABCD，
∴AC⊥OP，OP BD=0，
∴AC⊥面PBD，AC⊥BP，
在面PBD中，过O作ON⊥PB，连AN，PB⊥面AON，则AN⊥PB。
即∠ANO为所求二面角的平面角
AO=ABcos30°=
在Rt△POB中，
∴cos∠ 。
所以所求二面角的余弦值为
11．【解析】
12．解：（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，
∵D为 AC中点 ∴OD∥B1A
又B1A 平面BDC1，OD 平面BDC1
∴B1A∥平面BDC1
（2）∵AA1⊥面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1
∴CC1⊥面ABC 则BC⊥平面AC1，CC1⊥AC
如图以C为坐标原点，CA所在直线为X轴，CB所在直线为Y轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 则C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)
∴设平面 的法向量为 由 得
，取 ， 则
又平面BDC的法向量为
cos
∴二面角C1—BD—C的余弦值为
【备课资源】
1.已知两条异面直线a、b所成的角为40°，直线l与a、b所成的角都等于θ，则θ的取值范围是( )
(A)［20°,90°］(B)［20°,90°)
(C)(20°,40°］(D)［70°,90°］
【解析】选A.
取空间任一点O，将直线a,b,l平移到过O点后分别为a′,b′,l′，则l′与a′,b′所成的角即为l与a,b所成的角.当l′与a′,b′共面时θ最小为20°.当l′与a′,b′确定的平面垂直时，θ最大为90°.故θ的取值范围为［20°,90°］.
3.如图甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠DAB= ,点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将梯形 ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙).
(1)求证：AB∥平面DNC；
(2)当DN的长为何值时，二面角D-BC-N的大小为30°？
2016高考数学核心考点复数复习
第23时 复数
1．(2011年福建)i是虚数单位，若集合S＝－1，0，1，则( )
A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.2i ∈S
2．(201 1年全国)复数z＝2－i2＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(2011年江西)若(x－i)i＝y＋2i，x、y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
4．(2011年江苏)设复数z满足i (z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．
5．若将复数1＋i1－i表示为a＋bi(a、b∈R，i是虚数单位)的形式，则a＋b＝________.
6．(2011年全国)复数2＋i1－2i的共轭复数是 ( )
A．－35i B.35i C．－i D．i
7．(2011年安徽)设i是虚数单位，复数1＋ai2－i为纯虚数，则实数a为( )
A．2 B．－2 C．－12 D.12
8．i是虚数单位，复数z＝2＋3i－3＋2i的虚部是( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
9．(2011年浙江)把复数z的共轭复数记作 z－，i为虚数单位，若z＝1＋i，则(1＋z) z－＝( )
A．3－i B．3＋i C．1＋3i D．3
10．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)i为“等部复数”，则实数a的值为________．
11．(2011年浙江) 把复 数z的共轭复数记作z－，i为虚数单位，若z＝1＋i，则1＋zz－_______.
12．(2011年上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的 虚部为2，z1z2是实 数，求z2.
2016届高考数学直线的方程复习教学案
盐城市峰中学美术生高中数学一轮复习案
20直线的方程
【考点及要求】：
1.掌握直线方程的各种形式，并会灵活的应用于求直线的方程.
2.理解直线的平行关系与垂直关系, 理解两点间的距离和点到直线的距离.
【基础知识】：
1.直线方程的五种形式
名称方程适用范围
点斜式不含直线x=x1
斜截式不含垂直于x=轴的直线
两点式不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)
截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式平面直角坐标系内的直线都适用
2.两条直线平行与垂直的判定
3.点A 、B 间的距离： = .
4.点P 到直线 ：Ax+Bx+C=0的距离：d= .
【基本训练】：
1.过点 且斜率为2的直线方程为 , 过点 且斜率为2的直线方程
为 , 过点 和 的直线方程为 , 过点 和
的直线方程为 .
2.过点 且与直线 平行的直线方程为 .
3.点 和 的距离为 .
4.若原点到直线 的距离为 ,则 .
【典型例题讲练】
例1.一条直线经过点 ,且在两坐标轴上的截距和是6,求该直线的方程.
练习.直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,求 的取值范围.
例2.已知直线 与 互相垂直,垂足为 ,求
的值.
练习.求过点 且与原点距离最大的直线方程.
【堂小结】
【堂检测】
1.直线 过定点 .
2.过点 ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .
3.点 到直线 的距离不大于3,则 的取值范围为 .
4.直线 , ,若 ,则 .
【后作业】