高考理科数学必考点：积化和差

高考理科数学必考点：积化和差

　　积化和差公式是初等数学三角函数部分的一组恒等式，积化和差公式将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和的常数倍，达到降次的作用。是高考数学的重要知识点，一起来复习下吧：

　　积化和差

　　公式

　　sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】

　　cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

　　证明

　　法1

　　积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

　　即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：

　　sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]

　　=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

　　其他的3个式子也是相同的证明方法。

　　(该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积)

　　法2

　　根据欧拉公式，e^ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)

　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

　　记忆方法

　　积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。

　　【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该 是

　　[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。

　　也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：

　　cos(α-β)-cos(α+β)

　　=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)

　　=2sinαsinβ

　　故最后需要除以2。