高二数学命题及关系知识点

高二数学命题及关系知识点

　　上学的时候，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点也可以通俗的理解为重要的内容。那么，都有哪些知识点呢？下面是小编收集整理的高二数学命题及关系知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　一、知识梳理知识点一 命题及四种命题

　　1、命题的概念

　　在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假 的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题

　　注意：

　　命题必须是陈述句，疑问句、祈使句、感叹句

　　都不是命题。

　　2、四种命题及其关系

　　（1）四种命题间的相互关系

　　（2）四种命题的真假关系

　　①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

　　②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性无关

　　注意：（补充）

　　1、一个命题不可能同时既是真命题又是假命题

　　知识点二 充分条件与必要条件

　　1、充分条件与必要条件的概念

　　（1）充分条件：

　　pq 则p是q的充分条件

　　即只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，p成立就足够了，即有它即可。 亦即要使q成立，有

　　（2）必要条件：

　　pq 则q是p的必要条件

　　pqqp

　　即没有q则没有p，亦即q是p成立的必须要有的条件，即无它不可。

　　（补充）（3）充要条件

　　pq且qp即pq

　　则

　　“p、q互为充要条件（既是充分又是必要条件）

　　p”等 p是q的充要条件”也说成“p等价于q”、 “q当且仅当

　　（补充）2、充要关系的类型

　　（1）充分但不必要条件

　　定义：若pq，但qp，p是q的充分但不必要条件； 则

　　（2）必要但不充分条件

　　定义：若 q

　　则p，但pq， p是q的必要但不充分条件

　　（3）充要条件 定义：若 pq，且qp，即pq，p、q互为充要条件； 则

　　（4）既不充分也不必要条件

　　定义：若pp， q，且q

　　p、q互为既不充分也不必要条件。则

　　3、判断充要条件的方法：

　　①定义法；

　　②集合法；

　　③逆否法（等价转换法）。

　　逆否法————利用互为逆否的两个命题的等价性

　　集合法————利用集合的观点概括充分必要条件 若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断。

　　（1）若AB，则p是q的充分但不必要条件

　　（2）若BA，则p是q的必要但不充分条件

　　B，则p是q的充要条件

　　（4）若AB， B且A

　　则p是q的既不必要也不充分条件 （3）若A（补充）简记作————若A、B具有包含关系，则

　　（1）小范围是大范围的充分但不必要条件 （2）大范围是小范围的必要但不充分条件

　　二、例题分析

　　（一）四种命题及其相互关系

　　例1、（1） 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题

　　是（ ）

　　A、若x+y是偶数，则x与y不都是偶数

　　B、若x+y是偶数，则x与y都不是偶数

　　C、若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数

　　D、若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数

　　例1、（2）下列命题中正确的是（ ）

　　①“若a≠0，则ab≠0”的否命题；

　　②“正多边形都相似”的逆命题；

　　③“若m>0，则x2+x—m=0有实根”的逆否命题；

　　④“若x—3是有理数，则x是无理数”的逆否命题。

　　A、①②③④ B、①③④ C、②③④ D、①④

　　例1、（3）

　　（2014·陕西卷）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）

　　A、真，假，真 B、假，假，真

　　C、真，真，假 D、假，假，假

　　问题2

　　四种命题间关系的两条规律

　　（1）逆命题与否命题互为逆否命题；

　　互为逆否命题的两个命题同真假。

　　（2）当判断一个命题的真假比较困难时， 可转化为判断它的逆否命题的真假。

　　同时要关注“特例法”的应用。

　　例2、（1）（补充）

　　（2011山东文5）已知a，b，c∈R，命题“若abc=3， 222则abc≥3”的否命题是（ ）

　　222（A）若a+b+c≠3，则abc<3 12

　　（B）若a+b+c=3，则a2b2c2<3

　　（C）若a+b+c≠3，则a2b2c2≥3

　　（D）若a2b2c2≥3，则a+b+c=3

　　[来源XK]

　　例2、（2）（补充）

　　命题：“若xy0，则x0或y0”的否定是：________

　　注意：命题的否定与否命题的区别

　　（二）充要条件的判断与证明

　　例1、（1）（补充） （07湖北）已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。现有下列命题：

　　①s是q的充要条件；

　　②p是q的充分条件而不是必要条件；

　　③r是q的必要条件而不是充分条件；

　　④p是s的必要条件而不是充分条件；

　　⑤r是s的充分条件而不是必要条件；

　　则正确命题序号是（ ）

　　A、①④⑤

　　B、①②④

　　C、②③⑤

　　D、 ②④⑤ pq

　　注意：

　　1、利用定义判断充要条件

　　方法一 定义法

　　定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题

　　——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系。pq 则p是q的充分条件；

　　q是p的必要条件

　　2、利用逆否法判断充要条件

　　方法三 等价转化法

　　当所给命题的充要条件不好判定时，可利用四种命题的关系，对命题进行等价转换，常利用原命题与逆命题的真假来判断p与q的关系。令p为命题的条件，q为命题的结论，具体对应关系如下：

　　①如果原命题真而逆命题假，那么p是q的充分不必要条件；

　　②如果原命题假而逆命题真，那么p是q的必要不充分条件；

　　③如果原命题真且逆命题真，那么p是q的充要条件；

　　④如果原命题假且逆命题假，那么p是q的既不充分也不必要条件。

　　简而言之，逆否法————利用互为逆否的两个命题的等价性

　　例1、（2）（2014·北京卷）设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的（ ）

　　A、充分而不必要条件

　　B、必要而不充分条件

　　C、充分必要条件

　　D、既不充分也不必要条件

　　例1、（3）（2014·湖北卷）设U为全集、A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“A∩B=”的（ ）

　　A、充分而不必要条件

　　B、必要而不充分条件

　　C、充要条件

　　D、既不充分也不必要条件

　　例1、（4）

　　已知p：—4

　　A、充分不必要条件

　　B、必要不充分条件

　　C、充要条件

　　D、既不充分也不必要条件

　　注意：

　　3、利用集合法判断充要条件

　　方法二 集合法

　　涉及方程的解集、不等式的解集、点集等与集合相关的命题时，一般采用集合间的包含关系来判定两命题之间的充要性。具体对应关系如下：

　　若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断。

　　（1）若AB，则p是q的充分但不必要条件

　　p是q的必要但不充分条件

　　（3）若AB，则p是q的充要条件

　　（4）若AB， B且A

　　则p是q的既不必要也不充分条件 （2）若BA，则（补充）简记作————若A、B具有包含关系，则

　　（1）小范围是大范围的充分但不必要条件

　　（2）大范围是小范围的必要但不充分条件

　　log2x，x>0，例2、 例3函数f（x）=x有且只有一个零2—a，x≤0

　　点的充分不必要条件是（ ）

　　11A、a≤0或a>1

　　B、0

　　练习：（补充）

　　已知p：x3且y2，q：xy5，则p是q的条件。

　　高中命题及关系知识点

　　要点一、命题的概念

　　用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。

　　要点诠释：

　　1、 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”。

　　2、只有能够判断真假的陈述句才是命题。祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等。

　　3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键。一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可。命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性。

　　要点二、命题的结构

　　命题可以改写成“若，则”的形式，或“如果，那么”的形式。其中是命题的条件，是命题的结论。

　　要点诠释：

　　1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论。

　　2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式。

　　要点三、四种命题

　　原命题：“若，则”；

　　逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；

　　否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；

　　逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定。

　　要点诠释：

　　对于一般的数学命题，要先将其改写为“若，则”的形式，然后才方便写出其他形式的命题。

　　要点诠释：

　　（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；

　　（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系。

　　【典型例题】

　　类型一：命题的概念

　　例1、判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题。

　　（1）末位是0的整数能被5整除；

　　（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；

　　（3）两直线平行，则斜率相等；

　　（4）△ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB；

　　（5）余弦函数是周期函数吗？

　　【思路点拨】依据命题的定义判断。

　　【解析】

　　（1）是命题，真命题；

　　（2）是命题，假命题；

　　（3）是命题，假命题；

　　（4）是命题，真命题；

　　（5）不是命题。这是一个疑问句，没有做出判断。

　　【总结升华】对于命题真假的判断应根据已学习过的已有定义、定理、公理及已有结论等进行。

　　举一反三：

　　【变式1】判断下列语句是否为命题？若是，判断其真假。

　　（1）；

　　（2） 当时，；

　　（3） 你是男生吗？

　　（4） 求证：是无理数。

　　【答案】

　　（1） 不是命题；由于无法确定变量的值，所以无法确定其真假．

　　（2） 是命题；假命题．

　　（3） 不是命题；这是一个疑问句，没有做出判断．

　　（4） 不是命题；这是一个祈使句，没有做出判断．

　　【变式2】下列语句中是命题的是（ ）

　　A．B．{0}∈N C．元素与集合 D．真子集

　　【答案】B

　　【变式3】判断下列语句是否是命题。

　　（1）这是一棵大树；[来源：学#科#网]

　　（2）sin30=；

　　（3）x2+1>0；

　　（4）梯形是平行四边形。

　　【答案】

　　（1）不是，无法确定“大”；（2）是；（3）是；（4）是。

　　类型二：命题的结构

　　例2、指出下面命题的条件和结论。

　　（1）对顶角相等；

　　（2）四边相等的四边形是菱形。

　　【思路点拨】

　　命题都是一定的条件下推出的一定的结果，所以据此确定哪是条件，哪是结论。

　　【解析】

　　（1）原命题写成：若两个角是对顶角，则这两个角相等。条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等。

　　（2）原命题可写成：如果一个四边形的四边相等，则这个四边形是菱形。条件：一个四边形的四边相等；结论：这个四边形是菱形。

　　【总结升华】要写出一个命题的条件和结论，一般是把一个命题改写成“如果p，那么q”的形式，其中p是条件，q是结论。

　　举一反三：

　　【变式】指出下列命题的条件p和结论q。

　　（1）若空间四边形为正四面体，则顶点在底面上的射影为底面的中心；

　　（2）若两条直线a和b都和直线c平行，则直线a和直线b平行。

　　【答案】

　　（1）条件p：空间四边形为正四面体；结论q：顶点在底面上的射影为底面的中心。

　　（2）条件p：两直线a、b都和直线c平行；结论q：直线a和b平行。

　　例3、将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断其真假。

　　（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

　　（2）对角线相等的平面四边形是矩形。

　　【解析】

　　（1）“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”，真命题。

　　（2）“若一个平面四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形”，假命题。

　　【总结升华】有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但适当的改写后可以写成“若p，则q”的形式，那么就能很清楚地看出其条件和结论。

　　举一反三：

　　【变式1】把命题“6是12和24的公约数”写成若p则q的形式。

　　【答案】若一个数等于6，则这个数是12和24的公约数。

　　【变式2】将下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断真假。

　　（1）偶数能被2整除；

　　（2）奇函数的图象关于原点对称；

　　（3）同弧所对的圆周角不相等。

　　【答案】

　　（1）若一个数是偶数，则它能被2整除；真命题。

　　（2）若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称；真命题。

　　（3）若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等；假命题。