高二数学空间向量的定义及公式

高二数学空间向量的定义及公式

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　　基本定理

　　1共线向量定理

　　两个空间向量a,b向量(b向量不等于0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

　　2共面向量定理

　　如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的'一对实数x,y,使c=ax+by

　　3空间向量分解定理

　　如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

　　任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

　　常识

　　以下用向量法求解的简单常识：

　　1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB

　　2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC (其中x+y+z=1)，则四点P、A、B、C共面.

　　3、利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb(λ∈R).

　　4、利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0 .

　　5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 a,b，求： 的问题.

　　6、利用向量求距离即求向量的模问题.

　　7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标.

　　计算

　　第一步：

　　按照图形建立三维坐标系O-xyz

　　之后，将点的坐标带进去，求出所需向量的坐标。

　　第二步：

　　求平面的法向量：

　　令法向量n=(x,y,z)

　　因为法向量垂直于此平面

　　所以n垂直于此面内两相交直线(其方向向量为a，b)

　　可列出两个方程 n·a=0,n·b=0

　　两个方程，三个未知数

　　然后根据计算方便

　　取z(或x或y)等于一个数(如：1，√2等)

　　代入即可求出面的一个法向量n的坐标了.

　　会求法向量后

　　1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角，所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2.

　　2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外)一点，

　　求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量，记为a

　　点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.

　　3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量

　　可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 ：cos=|n·m|/(|n||m|)

　　那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。

　　4.设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν 则

　　线线平行 l∥m<=>a∥b <=> a=kb

　　线面平行 l∥α<=>a⊥μ <=>a·μ=0

　　面面平行 α∥β<=>μ∥ν <=>μ=kν

　　线线垂直 l⊥m<=>a⊥b <=>a·b=0

　　线面垂直 l⊥α <=>a∥μ <=> a=kμ

　　面面垂直 α⊥β<=> μ⊥ν <=>μ·ν=0

　　5.向量的坐标运算：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则

　　1.|a|=√(x1²+y1²)

　　2.a+b=(x1+x2,y1+y2)

　　3.a-b=(x1-x2,y1-y2)

　　4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)

　　5.a·b=x1x2+y1y2

　　6.a∥b<=> x1y2=x2y1(一般写为：x1y2-x2y1=0)

　　7.a⊥b<=> a·b=0<=>x1x2+y1y2=0

　　8.cos=(a·b)/(|a|·|b|)=(x1x2+y1y2) / [ √(x1²+y1²)·√(x2²+y2²) ]

　　注：x1中的1为下标，以此类推