导数的概念测试题

导数的概念测试题汇编

　　1.函数在某一点的导数是()

　　A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比

　　B.一个函数

　　C.一个常数，不是变数

　　D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率

　　[答案] C

　　[解析] 由定义，f(x0)是当x无限趋近于0时，yx无限趋近的常数，故应选C.

　　2.如果质点A按照规律s=3t2运动，则在t0=3时的瞬时速度为()

　　A.6 B.18

　　C.54 D.81

　　[答案] B

　　[解析] ∵s(t)=3t2，t0=3，

　　s=s(t0+t)-s(t0)=3(3+t)2-332

　　=18t+3(t)2st=18+3t.

　　当t0时，st18，故应选B.

　　3.y=x2在x=1处的导数为()

　　A.2x B.2

　　C.2+x D.1

　　[答案] B

　　[解析] ∵f(x)=x2，x=1，

　　y=f(1+x)2-f(1)=(1+x)2-1=2x+(x)2

　　yx=2+x

　　当x0时，yx2

　　f(1)=2，故应选B.

　　4.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)=4t2-3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t=5时的瞬时速度为()

　　A.37 B.38

　　C.39 D.40

　　[答案] D

　　[解析] ∵st=4(5+t)2-3-452+3t=40+4t，

　　s(5)=limt0 st=limt0 (40+4t)=40.故应选D.

　　5.已知函数y=f(x)，那么下列说法错误的是()

　　A.y=f(x0+x)-f(x0)叫做函数值的增量

　　B.yx=f(x0+x)-f(x0)x叫做函数在x0到x0+x之间的平均变化率

　　C.f(x)在x0处的'导数记为y

　　D.f(x)在x0处的导数记为f(x0)

　　[答案] C

　　[解析] 由导数的定义可知C错误.故应选C.

　　6.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为y|x=x0，即()

　　A.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)

　　B.f(x0)=limx0[f(x0+x)-f(x0)]

　　C.f(x0)=f(x0+x)-f(x0)x

　　D.f(x0)=limx0 f(x0+x)-f(x0)x

　　[答案] D

　　[解析] 由导数的定义知D正确.故应选D.

　　7.函数y=ax2+bx+c(a0，a，b，c为常数)在x=2时的瞬时变化率等于()

　　A.4a B.2a+b

　　C.b D.4a+b

　　[答案] D

　　[解析] ∵yx=a(2+x)2+b(2+x)+c-4a-2b-cx

　　=4a+b+ax，

　　y|x=2=limx0 yx=limx0 (4a+b+ax)=4a+b.故应选D.

　　8.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()

　　A.圆 B.抛物线

　　C.椭圆 D.直线

　　[答案] D

　　[解析] 当f(x)=b时，f(x)=0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.

　　9.一物体作直线运动，其位移s与时间t的关系是s=3t-t2，则物体的初速度为()

　　A.0 B.3

　　C.-2 D.3-2t

　　[答案] B

　　[解析] ∵st=3(0+t)-(0+t)2t=3-t，

　　s(0)=limt0 st=3.故应选B.

　　10.设f(x)=1x，则limxa f(x)-f(a)x-a等于()

　　A.-1a B.2a

　　C.-1a2 D.1a2

　　[答案] C

　　[解析] limxa f(x)-f(a)x-a=limxa 1x-1ax-a

　　=limxa a-x(x-a)xa=-limxa 1ax=-1a2.

　　二、填空题

　　11.已知函数y=f(x)在x=x0处的导数为11，则

　　limx0f(x0-x)-f(x0)x=________;

　　limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=________.

　　[答案] -11，-112

　　[解析] limx0 f(x0-x)-f(x0)x

　　=-limx0 f(x0-x)-f(x0)-x=-f(x0)=-11;

　　limxx0 f(x)-f(x0)2(x0-x)=-12limx0 f(x0+x)-f(x0)x

　　=-12f(x0)=-112.

　　12.函数y=x+1x在x=1处的导数是________.

　　[答案] 0

　　[解析] ∵y=1+x+11+x-1+11

　　=x-1+1x+1=(x)2x+1，

　　yx=xx+1.y|x=1=limx0 xx+1=0.

　　13.已知函数f(x)=ax+4，若f(2)=2，则a等于______.

　　[答案] 2

　　[解析] ∵yx=a(2+x)+4-2a-4x=a，

　　f(1)=limx0 yx=a.a=2.

　　14.已知f(x0)=limxx0 f(x)-f(x0)x-x0，f(3)=2，f(3)=-2，则limx3 2x-3f(x)x-3的值是________.

　　[答案] 8

　　[解析] limx3 2x-3f(x)x-3=limx3 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3)x-3

　　=limx3 2x-3f(3)x-3+limx3 3(f(3)-f(x))x-3.

　　由于f(3)=2，上式可化为

　　limx3 2(x-3)x-3-3limx3 f(x)-f(3)x-3=2-3(-2)=8.

　　三、解答题

　　15.设f(x)=x2，求f(x0)，f(-1)，f(2).

　　[解析] 由导数定义有f(x0)

　　=limx0 f(x0+x)-f(x0)x

　　=limx0 (x0+x)2-x20x=limx0 x(2x0+x)x=2x0，

　　16.枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0105m/s2，枪弹从枪射出时所用时间为1.610-3s，求枪弹射出枪时的瞬时速度.

　　[解析] 位移公式为s=12at2

　　∵s=12a(t0+t)2-12at20=at0t+12a(t)2

　　st=at0+12at，

　　limt0 st=limt0 at0+12at=at0，

　　已知a=5.0105m/s2，t0=1.610-3s，

　　at0=800m/s.

　　所以枪弹射出枪时的瞬时速度为800m/s.

　　17.在曲线y=f(x)=x2+3的图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+x,4+y)，求(1)yx (2)f(1).

　　[解析] (1)yx=f(1+x)-f(1)x

　　=(1+x)2+3-12-3x=2+x.

　　(2)f(1)=limx0 f(1+x)-f(1)x

　　=limx0 (2+x)=2.

　　18.函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有，求出来，若没有，说明理由.

　　[解析] f(x)=x+x2(x0)-x-x2 (x0)

　　y=f(0+x)-f(0)=f(x)

　　=x+(x)2(0)-x-(x)2 (0)

　　limx0+ yx=limx0+ (1+x)=1，

　　limx0- yx=limx0- (-1-x)=-1，

　　∵limx0- ylimx0+ yx，x0时，yx无极限.

　　函数f(x)=|x|(1+x)在点x0=0处没有导数，即不可导.(x0+表示x从大于0的一边无限趋近于0，即x0且x趋近于0)