大二高等数学的小窍门

大二高等数学的小窍门

　　无论你做什么事，一开始时不要被唱反调的人把信心击溃。下面是小编为大家整理的大二高等数学的小窍门，欢迎参考~

　　大二高等数学的小窍门

　　一、《高等数学》的特点

　　高等数学是变量的数学, 它是研究运动、研究无限过程、研究高维空间、研究多因素的作用。从观点到方法都和初等数学有着本质的差异。要想学习好《高等数学》, 必须搞清《高等数学》的特点。

　　1.常量与变量高等数学能深刻体现“常”和“变”互相转化的观点。例如在求曲线的弧长, 先视“常”为“变”( 把弧长看成折线长的极限) , 再通过“变”( 极限过程) 达到“常”( 求得弧的确定长度) 。这是初等 数学办不到的。

　　2.直与曲高等数学把直线和平面作为曲线和曲面的特例, 并认为在一定条件下“直”与“曲”可以互相转化。例如, 利用弧微分“以直代曲”, 通过积分又把“直转化为曲”。

　　3.有限与无限运用分析运算(无限运算)———极限, 这是高等数学的重要特点, 而初等数学只能进行有限次运算, 有限与无限通过极限方法实现互相转化。例如函数展成无穷级数。

　　4. 特殊与一般从初等数学到高等数学意味着从特殊到一般的过渡。

　　5.具体与抽象抽象性是数学的本质特征之一, 高等数学更加抽象, 结果更加深刻。

　　由上可知, 高等数学有两个显著的特征: 一是内容相当丰富; 二是理论体系中结构复杂、层次繁多。为此, 学习高等数学不能停留在书本上的机械学习, 而要用较高的观点, 系统、全面和有重点地去掌握其基本理论; 要融会贯通、综合运用。另外高等数学的知识的展开是由简单到复杂, 由个别到一般, 由基础性概念到抽象性更高的一般性概念的一环套一环地发展着的。所以, 只有对其知识的系统的挖掘与刨析, 才能更好地找到学习的'方法。

　　二、学习《高等数学》的方法

　　学习是知识的积累、加工和运用, 学习高等数学一般要经过初学-精学-实践三个不同的阶段。处学阶段是基础阶段, 在这个阶段里, 主要是通过教学( 自学) 获得片断的、零散的知识; 要将高等数学各节中的基本概念、定理内容及其论证, 例题、习题一点点搞懂, 在理解的基础上加以记忆。精学阶段是复习、整理、加工阶段, 分析、总结这个阶段的重要任务。它是在初学阶段的升华, 要掌握知识

　　的关键是要揭示理论结构与内在层次, 学会用语言直接阐述, 了解每一部分内容在整体中的地位和作用; 抓住实质与内在的联系; 并从丰富的内容中, 理出它们之间的联系, 只有这样才能真正掌握知识, 形成牢固的记忆, 培养技能与技巧。实践阶段主要是指通过学习后的科研与应用实践, 是学习过程的后续, 是再学习、再认识的阶段。在精学阶段中的好坏将直接影响到本阶段的工作效果。从方法上我们提倡浏览———研读———复述———温习的学习方法,真正把高等数学学习到手, 关键是狠抓基本理论和基本技能, 对于高等数学学习的具体方法是:

　　⒈接收信息大学课堂教学进度快、内容多, 应该先预习, 边看书边动手演算推导, 看看自己哪些懂了哪些不懂, 知己知彼, 带着问题有目的地听课, 适当作些笔记, 简要记下重点、关键、思路、补充材料和自己的体会。

　　⒉如何消化材料依靠头脑这个加工厂改造制作, 温故知新, 由此及彼, 由表及里。要经历一个把书本由薄变厚( 发挥) , 再由厚变薄( 归纳) 的过程, 这是要下苦功夫的。

　　(1)掌握基本概念数学讲究逻辑思维, 而逻辑思维无非是( 在感性认识的基础上) 抽象出概念, 运用概念进行判断、作出推理。所以, 概念是思维的基本元素, 数学水平的高低在很大程度上取决于对数学概念理解的深度。这一点往往为初学者所忽视。由于数学概念比普通概念更抽象。而我们又是从书本上接受这些概念, 缺乏直接经验, 这种先天不足更待后天弥补。学习数学概念一定得反复揣摩, 如极限概念, 先要有朴素的领悟( 趋近) , 再到严格的叙述( “ε- N”、“ε- δ”语言) , 才能逐步确切理解。

　　(2)善用数学语言普通思维靠词语, 数学思维靠符号语言, 它简明准确、自成体系。高等数学符号繁多, 含意丰富深刻。我们对两种语言必须能互译、运用自如。很多数学语言是以“构件”形式反复出现的,如运算符号、演算公式, 以及程式化的论证( 如数学归纳法) 、模式化的陈述( 如“ε- δ”语言、“充要条件”) 、格式化的列表( 如函数作图时按一定程序制表) 等等。用时要熟练地“装配”起来。

　　(3)搞清来龙去脉要将知识系统化, 由点到线到面, 就要串成链,织成网。具体做法如下:

　　①理脉络如极限方法贯穿于微积分的始终, 其它主要概念( 如导数、积分等) 的建立; 主要问题的解决都依赖于它, 这条线索要理清楚。

　　②奠基石如重要极限limx→0(1+x)1x 的存在问题是微积分的基石之一, 可仔细体味。

　　③建台阶如定积分、重积分、曲线、曲面积分等, 都是和式的极限, 但又层层深入和提高。

　　④树大梁如向量方法在空间解析几何中是主干, 由它导出直线、平面等一系列公式和性质。

　　⑤作比较如函数的连续性, 在开区间和闭区间上的结论就不同。

　　⑥会拓广如空间解析几何是平面解析几何的拓广, 多元函数微积分是一元函数微积分的拓广, 要论清在哪些地方是怎样拓广的。

　　⑦把握特例如罗尔定理、拉格朗日中值定理, 都是泰勒公式的特例。

　　⑧形成知识链如微分中值定理、牛顿—莱布尼兹公式、积分中值定理等。可形成一串, 成为微积分的基本定理。另为在闭区间上函数可微→连续→可积→有界的知识链, 反之则不成立。

　　⑨学会归纳和举反例如导数的应用, 名目繁多, 在函数作图中将各类应用集中起来; 如连续不一定可微, 举一反例就能说明。

　　⑩织成知识网如微分学与解析几何的某些结合, 边产生书中介绍的几何初步知识( 曲率、切线、切平面、法线、法平面等) 。凡此种种, 方法多样, 要灵活运用。

　　(4)几何直观是领悟数学最有效的渠道之一, 要善于寻找各种概念的解释。 以上各项, 都要靠仔细解刨书本, 抓要害、求甚解。再用自己熟悉的数学语言归纳整理, 使知识系统化、条理化, 了如指掌。

　　3.如何运用所学知识

　　(1)解题适当多做习题, 不但提高了解题能力, 而且加深了对知识的理解。要注意积累解题途径经验, 及时加以总结。具体过程如下:

　　①抓题型：分得清题目类型, 就能以少胜多, 成片地获取知识。如常微分方程按型求解。

　　②找方法：如积分最常用的方法是换元法和分部, 还有很多特殊技巧。 ③掌握步骤如求最大( 小) 值的应用题, 须经哪几步才能得到结果, 予以总结。

　　④寻规律：如导数是构造性定义的( 分三步: 求增量、算比值、取极限) , 决定了求导数可以“机械化”, 这是一般规律; 而不定积分是非构造性定义的, 作为导数的逆运算, 无一般规律可循。但一般中又有特殊, 比如何时用法则求导、取对数求导、利用隐函数求导、利用微分形式不变性求导, 都有特殊规律。又如定积分也是构造性定义的, 但极限过程中有两个“无关”( 与分法无关、与中间点取法无关) , 按定义难以算出, 有了牛顿—莱布尼兹公式才与原函数挂上了钩。再如微元分析法在定积分、微分方程的应用中是基本的一个环节, 要注意所找到的△S 应该满足△S=f(x)△x+o(△x), 否则就找错了。解完题之后, 还应考虑有无别的解法, 并比较各种方法的优劣、异同, 做到举一反三。发现错误, 及时纠正,并找出错误的原因。有疑问要记录下来继续研究。

　　( 2) 重视联系实际经常考察各种数学知识的现实背景, 设法解决一些实际问题。

　　( 3) 开展研究工作, 这是更高的境界。有兴趣的多看看一些研究数