初中奥数代数式同余式练习题

初中奥数代数式同余式练习题

　　导语：我国的高中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛；次年一月的CMO（冬令营）；次年三月开始的国家集训队的训练与选拔。下面就由小编为大家带来初中奥数代数式同余式练习题，大家一起去看看怎么做吧！

　　先看一个游戏：有n+1个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，甲乙两人交替移动棋子，每步可前移1，2或3格，以先到最后一格者为胜.问是先走者胜还是后走者胜?应该怎样走才能取胜?

　　取胜之道是：你只要设法使余下的空格数是4的倍数，以后你的对手若走i格(i=1，2，3)，你走4-i格，即每一次交替，共走了4格.最后只剩4个空格时，你的对手就必输无疑了.因此，若n除以4的余数是1，2或3时，那么先走者甲胜;若n除以4的余数是0的话，那么后走者乙胜.

　　在这个游戏里，我们可以看出，有时我们不必去关心一个数是多少，而要关心这个数用m除后的余数是什么.又例如，1999年元旦是星期五，1999年有365天，365=7×52+1，所以2000年的元旦是星期六.这里我们关心的也是余数.这一讲中，我们将介绍同余的概念、性质及一些简单的`应用.

　　同余，顾名思义，就是余数相同.

　　定义1 给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作

　　a≡b(modm)，

　　并读作a同余b，模m.

　　若a与b对模m同余，由定义1，有

　　a=mq1+r，b=mq2+r.

　　所以 a-b=m(q1-q2)，

　　即 m|a-b.

　　反之，若m|a-b，设

　　a=mq1+r1，b=mq2+r2，0≤r1，r2≤m-1，

　　则有m|r1-r2.因|r1-r2|≤m-1，故r1-r2=0，即r1=r2.

　　于是，我们得到同余的另一个等价定义：

　　定义2 若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余.

　　同余式的写法，使我们联想起等式.其实同余式和代数等式有一些相同的性质，最简单的就是下面的定理1.

　　定理1 (1)a≡a(modm).

　　(2) 若a≡b(modm)，则b≡a(modm).

　　(3) 若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm).

　　在代数中，等式可以相加、相减和相乘，同样的规则对同余式也成立.

　　定理2 若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则

　　a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm).