初三数学一元二次方程知识点整合

初三数学一元二次方程知识点整合

　　同学们在考试中是不是经常遇见关于初三数学一元二次方程知识点的内容，重要性想必都不用和大家说了吧，这篇文章希望大家可以好好运用。

　　一、定义和特点

　　1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

　　2、一元二次方程的一般形式：ax的平方+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax的平方+叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。

　　二、方程起源

　　古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约西元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。西元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

　　7世纪印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代数方程，它同时容许有正负数的根。

　　11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达著称)在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

　　据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二)：

　　在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍;

　　在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方;

　　在方程的两边同时开二次方。

　　三、性质

　　方程的两根与方程中各数有如下关系：x1+x2= -b/a，x1·x2=c/a(也称韦达定理)

　　方程两根为x1，x2时，方程为：x^2+(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得)

　　b^2-4ac>0有2个不相等的实数根，b^2-4ac=0有两个相等的实数根，b^2-4ac<0无实数根。

　　四、一般解法

　　一元二次方程的一般解法有以下几种：

　　配方法(可解部分一元二次方程)

　　公式法(在初中阶段可解全部一元二次方程，前提：△≥0)

　　因式分解法(可解部分一元二次方程)

　　直接开平方法(可解全部一元二次方程)

　　详情点击：九年级数学一元二次方程的解法知识点

　　五、小结及例题

　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

　　直接开平方法是最基本的方法。

　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法)，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。(三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法)。

　　例5：用适当的方法解下列方程。(选学)

　　(1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0;(2)x^2+2x-3=0;(3)4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0

　　分析：

　　(1)首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差

　　公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。

　　(2)可用十字相乘法将方程左边因式分解。

　　(3)把方程变形为 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后利用十字相乘法因式分解。

　　(1)解：4(x+2)^2-9(x-3)^2=0

　　[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

　　(5x-5)(-x+13)=0

　　5x-5=0或-x+13=0

　　∴x1=1，x2=13

　　(2)解： x^2+2x-3=0

　　[x-(-3)](x-1)=0

　　x-(-3)=0或x-1=0

　　∴x1=-3，x2=1

　　(3)解：4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0

　　4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

　　[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

　　2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

　　∴x1=(m+2)/2，x2=(m+3)/2

　　例6：求方程3(x+1)^2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)^2=0的二根。(选学)

　　分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方法)

　　解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

　　即 (5x-5)(2x-3)=0

　　∴5(x-1)(2x-3)=0

　　∴(x-1)(2x-3)=0

　　∴x-1=0或2x-3=0

　　∴x1=1，x2=3/2是原方程的'解。

　　六、课后习题

　　1. 某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?

　　2. 小明将1000元存入银行，定期一年，到期后他取出600元后，将剩下部分(包括利息)继续存入银行，定期还是一年，到期后全部取出，正好是550元，请问定期一年的利率是多少?

　　3. 一个正方形的边长增加2cm，它的面积增加了40cm2，求这个正方形原来的边长?

　　4. 用一块长方形的铁片，把它的四角各剪去一个边长为4cm的小方块，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，已知铁片的长是宽的2倍，做成盒子的容积是1 536cm3，求这块铁片的长和宽.

　　5. 我校生物兴趣小组的同学有一块长18米、宽12米的矩形试验园.为了便于同学们参观，现要开辟一横两纵三条等宽的小路.要使种植面积为176平方米，小路应该多宽?

　　6. 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱?